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H. Lenstraによって有名な1983紙変数の固定数で整数計画変数の固定数を持つ整数プログラムは、データの長さの時間多項式で解決できると述べています。 次のように解釈します。 一般に整数プログラミングはまだNP完全ですが、手元にある私の典型的な問題サイズ（たとえば、約10.000変数、任意の数の制約）が実際に実行可能であれば、制約の数で多項式的にスケーリングするアルゴリズムを構築できますが、変数と制約の数。 適切な制約を追加することで任意の整数を強制的に0-1にできるため、結果はバイナリプログラミングにも適用できます。 私の解釈は正しいですか？ この結果は実際的な意味を持ちますか？つまり、利用可能な実装はありますか、それはCPLEX、Gurobi、Mosekなどの一般的なソルバーで使用されていますか？ 論文からの引用： この長さは、目的のために、n・m・log（a + 2）と定義できます。ここで、aはAとbの係数の絶対値の最大値を示します。実際、問題の問題はNP完全であるため、そのような多項式アルゴリズムは存在しない可能性が高い [...] [5]、[10]は、nの任意の固定値に対して、整数線形計画問題を解くための多項式アルゴリズムが存在すると推測されました。本論文では、このようなアルゴリズムを示すことにより、この推測を証明します。アルゴリズムの実行時間を制限できる多項式の次数は、nの指数関数です。

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シンプレックスアルゴリズムは、実際の算術演算で処理されるか、正確な計算を行う離散世界で処理されることがよくあります。ただし、ほとんどの場合、浮動小数点演算で実装されるようです。 これは、シンプレックスアルゴリズムを数値アルゴリズムと見なすべきかどうか、特に丸め誤差が計算にどのように影響するかという問題につながります。私は実用的な実装には興味がありませんが、理論的な基礎に興味があります。 この問題に関する研究を知っていますか？

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もちろん、今日では線形計画法はよく理解されています。実行可能なソリューションの構造と最適なソリューションの構造を特徴付ける多くの作業があります。強力な双対性、ポリタイムアルゴリズムなどがあります。 しかし、LPの最小最大解については何がわかっていますか？または、同等に、最大の最小解？ （これは実際には研究の質問ではありませんが、休日にはあまり技術的でないものがあるかもしれません。ただ興味があり、グーグルで調べたところ、適切なキーワードが欠落している必要があると感じました。勉強すべき問題ですが、その問題について言及している散発的な論文をいくつか見つけました。 物事を単純にするために、LPのパッキングとカバーに焦点を当てましょう。パッキングLPでは、非負行列が与えられます。ベクトルxがある可能なら、X ≥ 0とA X ≤ 1。実行可能であればxは最大であり、貪欲に成分を増やすことはできないと言います。すなわち、場合Y ≥ 0とY ≠ 0は、その後、X + Yは不可能です。そして最後に、xはAAAバツバツxX ≥ 0バツ≥0x \ge 0A X ≤ 1Aバツ≤1Ax \le 1バツバツxy≥ 0y≥0y \ge 0y≠ 0y≠0y \ne 0x + yバツ+yx + yバツバツx最小最大のソリューション、それが目的関数最小化した場合にすべて最大のソリューションの中で。∑私バツ私∑私バツ私\sum_i x_i （同様の方法で、カバーLPの最大最小解を定義できます。） 最小最大ソリューションのスペースはどのように見えますか？どうすればそのような解決策を見つけることができますか？そのような解決策を見つけることはどれほど難しいですか？このようなソリューションをどのように近似できますか？誰がそのようなことを研究し、それに対する正しい用語は何ですか？ これらの質問はもともとはエッジ支配セットと最小最大マッチングによって動機づけられました。最小の最大マッチングが最小のエッジ支配セットであることはよく知られています（かなり簡単にわかります）。逆に、最小エッジ支配セットが与えられると、最小最大マッチングを構築するのは簡単です。 つまり、本質的には同じ問題です。どちらの問題もNPハードとAPXハードです。些細な2近似アルゴリズムがあります：最大マッチング。 ただし、「自然な」LPリラクゼーションは非常に異なって見えます。エッジ支配セット問題を取り、自然なLPリラクゼーションを形成する場合、カバーLPを取得します。しかし、最小の最大一致を見つける問題を取り、LP緩和を考え出そうとすると、何が得られますか？もちろん、部分一致はパッキングLPの実行可能なソリューションです。その場合、最大の部分的マッチングはそのようなLPの最大の解であり、したがって最小の最大の部分的マッチングはそのようなLPの最小の最大解です。:)

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標準の形の多面体があるとしましょう： Ax=bx≥0Ax=bx≥0\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*} 超平面の各辺の頂点の数がほぼ同じになるように多面体を分割する超平面を見つける既知の方法はありますか？（つまり、分割の両側の頂点カーディナリティの絶対差を最小化するアルゴリズム）。dx+d0=0dx+d0=0\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0 また、この問題の複雑さに関する既知の結果はありますか？ 補遺：カットの種類の制限： これは元の問題のバリエーションで、元の問題よりも簡単に解決できることを期待しています。 d i x i + d 0 = 0の形式の超平面である座標が分割の両側の頂点カーディナリティの絶対差が最も低くなるのを効率的に計算または推定する方法はありますか？効率的とは、可能なすべての分割について、頂点のカーディナリティをすべて列挙するよりも効率的なことを意味します。iiidixi+d0=0dixi+d0=0d_ix_i + d_0 = 0 注：数日間の少しの進歩の後、私はこの質問をMathOverflowにも投稿しました。

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次のLPがあります。 / *目的関数* / 最小：1 w + 2 x + 0.5 y + z; / *変数の境界* / w + x <= T1; w + y = U1; x + z = U2; T1 = 50; U1 = 70; U2 = 25; この場合、U1 + U2> T1であり、最適解はy = 70およびz = 25です。yおよびzに値を割り当てる前に、wおよびx変数に値が割り当てられるという条件を適用します。U1 + …

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次のように組み立てられる可能性のある質問があります。私は、ポイント与えられていでD次元ベクトル空間を、そして私が最も近い点を見つけたいQへのpを満たす「のセットℓ 0形式の制約」pppdddqqqpppℓ0ℓ0\ell_0 セット所与、ほとんどの1つ{ q個のJ、J ∈ Sは}ゼロ以外であってもよいです。S∈[1…d]S∈[1…d]S \in [1\ldots d]{qj,j∈S}{qj,j∈S}\{q_j, j \in S\} 近さの概念は異なりますが、今のところ、のような便利な距離を前提とするのに十分である。ℓ22ℓ22\ell_2^2 元の制約に近似する「十分に近い」ポリトープを提供するという意味で「良い」線形制約に対する既知の緩和はありますか。「十分に近い」の定義にもかなり柔軟です。

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双対性について話すとき、相補的弛緩（CS）が一般的に教えられます。これは、数学的観点から、主制約と双対制約/変数の間の適切な関係を確立します。 CSを適用する2つの主な理由（大学院のコースや教科書で教えられているとおり）： LPの最適性を確認するには デュアルを解決するために 今日のコンピューティングパワーとLPを解くための多項式アルゴリズムを考えると、CSは実用的な観点からまだ適切ですか？私たちは常に双対を解決し、上記の両方の点に取り組むことができます。CSを使用してデュアルを解決する方が「より効率的」であることに同意しますが、それはそれですか？それとも、CSには目に見える以上のものがあるのでしょうか。上記の2つのポイントを超えて、CSはどこで役に立ちますか？近似アルゴリズムについて話すとき、CSの概念をほのめかすテキストをよく見ましたが、そこでの役割を理解できません。

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線形目的関数と線形制約の問題を解決できるという点で、線形プログラムに精通しています。しかし、半定値プログラミングでは、線形計画ではできないことを何が解決できるのでしょうか。半定値プログラムは線形プログラムの一般化であることはすでに知っています。 また、半確定プログラミングを使用して解決できる問題をどのように認識しますか？線形計画法では解決できない半定値プログラミングが使用される典型的な問題は何ですか？ ご返信ありがとうございます。

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私は最近、数学的最適化に関与し始め、それを愛しています。多くの最適化問題は、線形プログラム（ネットワークフロー、エッジ/頂点カバー、巡回セールスマンなど）として簡単に表現および解決できるようです。それらの一部はNP困難であることがわかっていますが、最適に解決されていない場合は、「線形プログラムとしてフレーム化」。 それは私に考えさせました：私たちは常に線形方程式のシステム、線形代数を学校/大学全体で教えられてきました。そして、さまざまなアルゴリズムを表現するためのLPの力を見ると、それはちょっと魅力的です。 質問：私たちの周りには非線形システムが普及していますが、線形システムはコンピュータサイエンスにとってどのように/なぜ非常に重要なのですか？私はそれらが理解を簡単にするのを助け、ほとんどの場合計算上扱いやすいことを理解していますが、それはそれですか？この「近似」はどの程度優れていますか？単純化しすぎていませんか？結果は実際にはまだ意味がありますか？それとも単なる「自然」なのでしょうか。つまり、最も魅力的な問題は実際に単純に線形なのでしょうか。 「線形代数/方程式/プログラミング」がCSの基礎であるのは安全ですか？そうでなければ、何が良い矛盾でしょうか？非線形のものをどのくらいの頻度で処理しますか（必ずしも理論的に意味するわけではありませんが、「解決可能性」の観点からも言えます。つまり、NPだと言ってもそれはうまくいきません。問題に十分な近似があり、着陸するでしょう。直線的ですか？）

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タイトルごとに、汎用LPソルバーを使用する以外に、不等式がの形式を持つ変数で不等式のシステムを解くためのアプローチがあります？のべき集合のメンバーの合計に対して全順序を形成する不等式の特別な場合はどうですか？Σ I ∈ I X 、I &lt; Σ J ∈ J X J { X I、··· 、X K }バツ私、… 、xkxi,…,xkx_i, \ldots, x_kΣ私∈ 私バツ私&lt; ∑J ∈ Jバツj∑i∈Ixi&lt;∑j∈Jxj\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j{ x私、… 、xk}{xi,…,xk}\{x_i, \ldots, x_k\}

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単に解決策ではなく、最小値を想定するポリトープの面で可能な限り中心的な解決策が必要な線形プログラムがあります。 先験的に、最小化されている目的関数が多くの制約の最大値であることを含む、さまざまな理由から、最小化面は高次元である必要があります。 すべてのと、線形およびでを条件として最小化します。F I（ˉ X）≤ ε &lt; 0 F I X 、I &gt; 0 I Σ I X 、I = 1ϵϵ\epsilonfi(x¯)≤ϵ&lt;0fi(x¯)≤ϵ&lt;0f_i(\bar x) \leq \epsilon < 0fifif_ixi&gt;0xi&gt;0x_i > 0iii∑ixi=1∑ixi=1\sum_i x_i = 1 もちろん、シンプレックスアルゴリズムから中心性のようなプロパティを取得することはありません。しかし、通常の内点アルゴリズムのいずれかがそのような特性を示しますか？可能な限り頂点や低次元の面を回避することさえ保証しますか？ 実際、中心性は最小性よりも重要であるため、ポリトープ全体の中点を見つける簡単な2次プログラムで満足していると思います。他の線形プログラミングアルゴリズムが関連するプロパティを提供しているかどうかは漠然と知りたいだけです。 更新：私は根本的な問題をラグランジュ乗数で解決可能な単純な制約付き最小化問題に減らしましたが、上記の質問はとにかく興味深いままです。

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最大化：私は、線形計画問題の家族持っているc′xc′xc' xの対象Ax≤bAx≤bA x\le b、x≥0x≥0x\ge0。AAA、bbb、およびの要素cccは非負の整数で、cccは正の整数です。（xxxも必要ですが、後で心配します。） 私のアプリケーションでは、係数AAAとcccが、単純なワンパスアルゴリズムがすべての選択に対して最適な解を与えるようなものであることがよくあります。ワンパスアルゴリズムはbbb、要素x1,…,xnx1,…,xnx_1,\dots,x_nを順番に決定し、各xjxjx_jは、すでに決定されている値と一致する可能な最大値になりますx1,…,xj−1x1,…,xj−1x_1,\dots,x_{j-1}。シンプレックス言語では、変数を入力する順序はx1x1x_1からxnxnx_n、ステップ後に終了します。これは、完全なシンプレックスと比較して多くの時間を節約します。nnn このアルゴリズムは、の列とcの要素が「安い」から「高価」にソートされている場合に機能します。「安価な」変数は、一般に小さい値を持つAの列であり、cの対応する要素は大きくなります。xのその要素の場合、制約bへの要求が少ない大量の出力が得られます。したがって、アルゴリズムは「最初に簡単なことを行う」とだけ言っています。AAAcccAAAcccxxxbbb 私の質問は、とcのどのプロパティが、この単純化されたアルゴリズムがすべてのbで機能することを保証するかです。私の最初の推測では、Aの非ゼロ要素は各行で増加するはずですが、それは正しくありません。AAAcccbbbAAA ここではいくつかの例と全てである： A 1 = （1 1 1 1 2 3 3 2 0）、 A 2 = （0 0 1 3 0 2 0 3 2）、 A 3 = （1 1 1 1 0 0 1 0 1）、 A 4c=(1,1,1)c=(1,1,1)c=(1,1,1)A1=⎛⎝⎜113122130⎞⎠⎟A1=(11112３３20）A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & …

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一般的な問題 我々は多変数多項式の関数があるとし、およびいくつかの線形関数ℓ I（xと）。次の最適化問題の解決の複雑さについて何がわかっていますか？f(x)f(x)f(\mathbf{x})ℓi(x)ℓi(x)\ell_i(\mathbf{x}) MaximizeSubject to: f(x)ℓi(x)≤0 for all iMaximizef(x)Subject to: ℓi(x)≤0 for all i\begin{align*} \text{Maximize} & \;\; f(\mathbf{x}) \\ \text{Subject to: } & \;\, \ell_i(\mathbf{x}) \le 0\text{ for all } i \end{align*} 制約によって決定された領域は有界であると想定できます。 関連するがより具体的な問題 境界のあるポリトープ（一連の線形不等式の交差として表される）があるとします。ポリトープに完全に含まれる（軸に平行な）超長方形の最大体積を計算したい。この問題を解決する複雑さは何ですか？ これらの問題のいずれかに関するヘルプは大歓迎です。

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私は、「特定のノードから他のすべてのノードへの有向最短経路のツリーを見つける問題への主なシンプレックスアルゴリズムの特殊化」を検討した、ドナルドゴールドファーブ、建秀豪、シェンロアンカイによる効率的な最短経路シンプレックスアルゴリズムを読んでいます。 nノードのネットワークまたは負の長さの有向サイクルを見つける。この最短経路シンプレックスアルゴリズムの2つの効率的なバリアントが分析され、最大でピボットと時間。」（n − 1 ）（n − 2 ）/ 2（ん−1）（ん−2）/2(n − 1)(n − 2)/2O （n３）O（ん３）O(n^3) この記事の動機を見つけようとしていますが、Bellman-Fordアルゴリズムでは十分ではないのでしょうか。時間で動作し、上記のアルゴリズムが処理するグラフのタイプに適しています。O （n m ）O（んメートル）O(nm)

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最適化問題を学習するとき、通常、線形計画法（またはより一般的には、凸最適化）を最も単純な例として検討します。それは多項式時間で解けるし、アルゴリズムを理解するのは比較的簡単です。ただし、LPの決定バージョンは完全です。これは、多項式時間で解決できる最も難しい問題の1つであることを示唆しています。PP\mathsf{P} という仮定の下で。\ mathsf {NC}の決定問題での「最も難しい」自然な最適化問題は何ですか？N CN C ≠ PNC≠P\mathsf{NC} \neq \mathsf{P}N CNC\mathsf{NC} これが曖昧すぎる場合は、制限に制限できます。制限されたプログラムに関連する決定問題をで解決できるようにするために、線形計画（またはより一般的には、凸計画）に必要がある制限の最小セットは何ですか？N CNC\mathsf{NC} 動機 多くの場合、これは怠惰な好奇心です。ただし、それはCosma Shaliziの「ソビエト連邦では、最適化問題が解決する」によってもたらされました。特に、LPが一元化された経済を得るために解決するのが難しすぎる場合（つまり、最適化が要求する量が多すぎる場合）、分散システムは何らかの並列処理よりも何らかの並列処理を実行する必要があります（私にとって） ：）。N CPP\mathsf{P}N CNC\mathsf{NC}

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