NCで最も難しい最適化問題

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最適化問題を学習するとき、通常、線形計画法（またはより一般的には、凸最適化）を最も単純な例として検討します。それは多項式時間で解けるし、アルゴリズムを理解するのは比較的簡単です。ただし、LPの決定バージョンは完全です。これは、多項式時間で解決できる最も難しい問題の1つであることを示唆しています。 $\mathsf{P}$

という仮定の下で。決定問題での「最も難しい」自然な最適化問題は何ですか？ $\mathsf{NC} \neq \mathsf{P}$ $\mathsf{NC}$

これが曖昧すぎる場合は、制限に制限できます。制限されたプログラムに関連する決定問題をで解決できるようにするために、線形計画（またはより一般的には、凸計画）に必要がある制限の最小セットは何ですか？ $\mathsf{NC}$

動機

多くの場合、これは怠惰な好奇心です。ただし、それはCosma Shaliziの「ソビエト連邦では、最適化問題が解決する」によってもたらされました。特に、LPが一元化された経済を得るために解決するのが難しすぎる場合（つまり、最適化が要求する量が多すぎる場合）、分散システムは何らかの並列処理よりも何らかの並列処理を実行する必要があります（私にとって）：）。 $\mathsf{P}$ $\mathsf{NC}$

cc.complexity-theory optimization linear-programming

— アルテム・カズナチェエフ
ソース

NCは階層であるため、NCで「最も難しい」問題を見つけることはほとんどありません（より正確には、NC階層が崩れない限り、NCには完全な問題はありません）。同様に、LPをNCに適用するための「普遍的な」最小セットの制限はおそらくないでしょうが、これは、自然な仮定を条件としてさえ、除外するのは難しいようです。（これは質問を損なうものではありません-私は質問が好きです、そしてそれは明らかにいくつかの興味深い答えを生み出しました-単なる発言です。）

— Joshua Grochow

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ポジティブLP / SDPに関する作業を知っていますか？この領域には、主に「LP / SDPの制約が正の場合、問題はNCで解決できる」という線に沿って多数の結果があります。

この一連の作業におけるいくつかの重要な参照は、Luby-Nisan 93とJain-Yao 11です。別の優れたリソースは、IQCで開催された「最近の量子アルゴリズムの進歩」会議でのRahul Jainの講演のスライドです。講演全体はYouTubeで公開されています。

— ロビン・コタリ
ソース

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P O

$\mathsf{PO}$

N C

$\mathsf{NC}$

N C

$\mathsf{NC}$

N C O

$\mathsf{NCO}$

P = N C

$\mathsf{P} = \mathsf{NC}$

P

$P$

2

わかりませんが、興味があるかもしれません-そうでない場合はご容赦ください-次の論文は自然な種類の最適化問題とは関係ありませんが、特定の最適化問題に還元できる問題を扱っています、その解決策はNCにあります。

Igor Averbakh、Oded Berman、「相互通信とそれらのアプリケーションでの多施設ロケーション問題のための並列NCアルゴリズム」、ネットワーク、第40巻、第1号、12ページ、2002年8月、Wiley

DOI：10.1002 / net.10027

概要

調査された一般的な問題は、各施設がツリーのサブツリーとして定義されている独自の実現可能領域内に配置されている場合、施設のペア間の距離の上限制約を満たすためにツリー上に識別可能な施設を配置することです。NCアルゴリズムとして実装できる問題を解決するための並列位置スキーム（PLS）を示します。また、相互通信による距離制約付きp中心問題を含む、問題のミニマックスバージョンのPLSに基づく並列NCアルゴリズムを紹介します。PLSと改善されたMegiddoのパラメトリック手法を組み合わせて、ミニマックス問題用の強力な多項式シリアルアルゴリズムを開発します。アルゴリズムは、文献で現在利用できる最も複雑なものです。

— マッシモカファロ
ソース