線形計画では解決できない半確定計画で何が解決できるか？

線形目的関数と線形制約の問題を解決できるという点で、線形プログラムに精通しています。しかし、半定値プログラミングでは、線形計画ではできないことを何が解決できるのでしょうか。半定値プログラムは線形プログラムの一般化であることはすでに知っています。

また、半確定プログラミングを使用して解決できる問題をどのように認識しますか？線形計画法では解決できない半定値プログラミングが使用される典型的な問題は何ですか？

ご返信ありがとうございます。

典型的な問題はMaxCutです：カットされたエッジの数を（ほぼ）最大化するグラフにカットを出力します。GoemansとWilliamsonは、SDPがMaxCutの値を少なくとも0.878の係数内に近似することを示しました。最近、Chan、Lee、Raghavendra、およびSteurerは、MaxCut問題の自然な線形エンコーディングでは、すべての多項式サイズのLPが0.5以下の近似を実現することを示しました。

SDPが通常どのような問題の恩恵を受けるかを簡潔に言うのは難しいです。SDPリラクゼーションを構築するための体系的なアプローチは、階層を使用するもので、その中で最も強力なのはラッセル階層です。素敵な紹介については、ロスボスの調査をご覧ください。現時点では、最適化におけるSDPの成功例が多すぎてリストできません。また、Raghavendraは、Unique Gamesの予想が当てはまる場合、1つの特定のSDPがすべてのMaxCSP問題に最も近いことを示しました。

Gaertner とMatousekの本、Willimson とShmoysの本の第6章と13章、Lovazzの調査をチェックしてください。

多くの組み合わせ最適化問題（たとえば、Max-Cut）では、半定値プログラミングにより、IP公式のLP緩和よりもはるかに強力な緩和が得られます。これにより、近似アルゴリズムの設計、および境界の品質が向上するため、線形アルゴリズムよりも効率的な正確なアルゴリズムの設計が可能になります。例は、Christoph Helmbergのハビリテーション論文、この調査、およびこのコースページにあります 。

半定値プログラミングを使用した最近の見事な結果の別のシーケンスは、Razborovのフラグ代数を適用してTuran型問題の結果を証明することです（この調査とフラグマティックプロジェクトを参照）。