LPの最小最大解

もちろん、今日では線形計画法はよく理解されています。実行可能なソリューションの構造と最適なソリューションの構造を特徴付ける多くの作業があります。強力な双対性、ポリタイムアルゴリズムなどがあります。

しかし、LPの最小最大解については何がわかっていますか？または、同等に、最大の最小解？

（これは実際には研究の質問ではありませんが、休日にはあまり技術的でないものがあるかもしれません。ただ興味があり、グーグルで調べたところ、適切なキーワードが欠落している必要があると感じました。勉強すべき問題ですが、その問題について言及している散発的な論文をいくつか見つけました。

物事を単純にするために、LPのパッキングとカバーに焦点を当てましょう。パッキングLPでは、非負行列が与えられます。ベクトルxがある可能なら、X ≥ 0とA X ≤ 1。実行可能であればxは最大であり、貪欲に成分を増やすことはできないと言います。すなわち、場合Y ≥ 0とY ≠ 0は、その後、X + Yは不可能です。そして最後に、xは$A$$x$$x \ge 0$$Ax \le 1$$x$$y \ge 0$$y \ne 0$$x + y$$x$最小最大のソリューション、それが目的関数最小化した場合にすべて最大のソリューションの中で。$\sum_i x_i$

（同様の方法で、カバーLPの最大最小解を定義できます。）

最小最大ソリューションのスペースはどのように見えますか？どうすればそのような解決策を見つけることができますか？そのような解決策を見つけることはどれほど難しいですか？このようなソリューションをどのように近似できますか？誰がそのようなことを研究し、それに対する正しい用語は何ですか？

これらの質問はもともとはエッジ支配セットと最小最大マッチングによって動機づけられました。最小の最大マッチングが最小のエッジ支配セットであることはよく知られています（かなり簡単にわかります）。逆に、最小エッジ支配セットが与えられると、最小最大マッチングを構築するのは簡単です。

つまり、本質的には同じ問題です。どちらの問題もNPハードとAPXハードです。些細な2近似アルゴリズムがあります：最大マッチング。

ただし、「自然な」LPリラクゼーションは非常に異なって見えます。エッジ支配セット問題を取り、自然なLPリラクゼーションを形成する場合、カバーLPを取得します。しかし、最小の最大一致を見つける問題を取り、LP緩和を考え出そうとすると、何が得られますか？もちろん、部分一致はパッキングLPの実行可能なソリューションです。その場合、最大の部分的マッチングはそのようなLPの最大の解であり、したがって最小の最大の部分的マッチングはそのようなLPの最小の最大解です。:)

最大性と最小性：それらは一種のパレート最適性です。
複雑さ：最小の最大解を見つけることはNP困難だと思います。二部グラフの独立支配問題（別名、最小最大独立集合問題）を削減します。この問題（より正確にはその決定版）はNP完全であることが知られています（DG Corneil and Y. Perl、Clustering and domination in perfect graphs.Discrete Applied Mathematics 9（1984）27-39）。二部グラフは完全であるため、その独立集合ポリトープはクリーク不等式によって決定され、二部グラフのクリークの数は多項式です。したがって、独立集合ポリトープの線形不等式Ax <= 1、x> = 0のシステムを明示的に書き留めることができます。極端な解は独立した集合に対応し、極端な最大解は最大の独立した集合に対応します。

多面体のブロッキングとアンチブロッキングのペアを調べると便利です。梱包に問題があるとします。次に、実行可能領域は非負のオータントのコーナー多面体であり、そのアンチブロッカーA （P ）（コーナー多面体）は基本的にPを定義する不等式のセットです。$P$$A(P)$$P$

$STAB(G)$$G$$G$$QSTAB(\bar G)$$> 1$

$P$$A(P)$

悲しいことに、このようなものの透明な説明を見つけるのに苦労しましたが、決して多面体の専門家ではありません。うまくいけば、手元の問題に関連するものを見つけることができます。