ノイズ演算子の拡張
私が現在取り組んでいる問題では、ノイズ演算子の拡張が自然に発生し、以前の仕事があったかどうかに興味がありました。まず、私は基本的なノイズオペレータ修正しましょうTεTεT_{\varepsilon}の実数値ブール関数にします。与えられた関数f:{0,1}n→Rf:{0,1}n→Rf: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}とεε\varepsilon、ppp ST 0≤ε≤10≤ε≤10 \leq \varepsilon \leq 1、ε=1−2pε=1−2p\varepsilon = 1 - 2p、我々は定義Tε→RTε→RT_{\varepsilon} \to \mathbb{R}のような Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)] μpμp\mu_p上に分布されyyyの各ビットに設定することによって得られたnnnであることビットベクトルを111確率で独立pppと000そうでありません。同様に、このプロセスは、各ビットxxxを独立した確率で反転させると考えることができますppp。ここで、このノイズオペレータがあるなど、多くの有用な特性を有する乗法Tε1Tε2=Tε1ε2Tε1Tε2=Tε1ε2T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}とを有する素敵な固有値と固有ベクトル（χ Sは、パリティベースに属しています）。Tε(χS)=ε|S|χSTε(χS)=ε|S|χST_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_SχSχS\chi_S 私は今の私の拡張を定義してみましょうTεTεT_\varepsilon Iのように表し、R(p1,p2)R(p1,p2)R_{(p_1,p_2)}。 R(p1,p2)→RR(p1,p2)→RR_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}で与えられるR(p1,p2)f(x)=Ey∼μp,x[f(x+y)]R(p1,p2)f(x)=Ey∼μp,x[f(x+y)]R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]。しかし、ここで私たちの分布μp,xμp,x\mu_{p,x}、我々が反転するようなものである111のビットxxxに000確率でp1p1p_1と000のビットxxxに111の確率でp2p2p_2。（μp,xμp,x\mu_{p,x}今や明らかに分布依存しているxxx関数が評価され、もしp1=p2p1=p2p_1 = p_2、次いでR(p1,p2)R(p1,p2)R_{(p_1,p_2)}「正規」ノイズオペレータに減少させます。） この演算子すでに文献のどこかでよく研究されているのだろうか？または、その基本的な特性は明らかですか？私はブール解析から始めているので、これは私よりも理論に精通している人には簡単かもしれません。特に、固有ベクトルと固有値に優れた特性があるかどうか、または乗算特性があるかどうかに興味があります。R(p1,p2)R(p1,p2)R_{(p_1,p_2)}