ハイパーキューブ上の畳み込みのエントロピー

我々は関数持っ言う、よう（我々が考えることができるので、分布など）を。以下のように、このようなA関数のエントロピーを定義することが自然である： $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$ $\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1$ $\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}$

H （ f ） = - \sum_{バツ \in Z_{2}^{n}} f （ バツ ）^{2} ログ （ f （ バツ ）^{2} ） 。

$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) .$

今、の畳み込み考えるそれ自体と：（を扱っているため、） $f$

[f * f] （ バツ ） = \sum_{y \in Z_{2}^{n}} f （ y ） f （ バツ + y ） 。

$[ f*f] (x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}_2^n}f(y)f(x+y) .$

Z_{2}^{n}

$\mathbb{Z}_2^n$

x + y = x - y

$x+y=x-y$

上側のエントロピー結合することが可能である（その内の正規化さのエントロピーが分布されるために、ノルム）の？正式に、任意の定数が存在するように $f*f$ $L_2$ $f$ $C$

H （ \frac{f * f}{‖ f * f ‖_{2}} ） \leq C \cdot H （ f ）

$H \left( \frac{f*f}{\|f*f\|_2} \right) \le C \cdot H(f)$

it.information-theory boolean-functions fourier-analysis

この質問は、8月1日にmathoverflowに投稿されました：mathoverflow.net/questions/103668/…（通常、このような遅延でクロスポストしても構いませんが、何をしているのかを言う必要があります）。

— コリンマッキーラン

申し訳ありませんが、このポリシーについては知りませんでした。

エントロピーの力の不等式が役立つ場合があります：en.wikipedia.org/wiki/Entropy_power_inequality

— またはMeir

$C$ $g\colon\mathbb{Z}_2^n\to\mathbb{R}$

g （ {バツ}_{1} 、 \dots 、 {バツ}_{n} ） = {\begin{cases} 2^{2 n / 3} & もし {バツ}_{1} = \dots = {バツ}_{n} = 0 \\ 1 & さもないと。 \end{cases}

$g(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{2n/3}&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 1&\text{ otherwise.}\end{cases}$

$g*g$

（ g * g ） （ {バツ}_{1} 、 \dots 、 {バツ}_{n} ） = {\begin{cases} 2^{4 n / 3} + 2^{n} - 1 & もし {バツ}_{1} = \dots = {バツ}_{n} = 0 \\ 2^{2 n / 3} \cdot 2 + 2^{n} - 2 & さもないと。 \end{cases}

$(g*g)(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{4n/3}+2^n-1&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 2^{2n/3}\cdot 2+2^n-2&\text{ otherwise.}\end{cases}$

$f=g/\|g\|_2$ $H(f)=H(g/\|g\|_2)$ $o(1)$ $n$ $H(g*g/\|g*g\|_2)$ $n$

— コリン・マッキーラン
ソース