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安定した結婚の問題：http : //en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem SMPのインスタンスでは、Gale-Shapleyアルゴリズムによって返されるものとは別に、他の多くの安定した結婚が可能であることを認識しています。しかし、男性/女性の数だけが与えられた場合、次の質問をします-安定した結婚の最大数を与える選好リストを構築できますか？そのような数の上限は何ですか？nnn

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Hからそれ自体への準同型が全単射である場合、グラフHはコアです。Hがコアであり、GからHへの準同型がある場合、GのサブグラフHはGのコアです 。http：//en.wikipedia.org/wiki/Core_%28graph_theory%29 グラフGが与えられた場合、そのコアを見つけるための最もよく知られている正確なアルゴリズムは何ですか？

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与えられたnnnサブセットS1,…,SnS1,…,SnS_1,\ldots,S_nの{1,…,d}{1,…,d}\{1,\ldots,d\}。 セットがあるかどうかを確認してくださいと。（もしそうなら、例を見つけ、そうでなければ、単に「いいえ」と言ってください）Si,SjSi,SjS_i,S_jSi⊊SjSi⊊SjS_i \subsetneq S_j この問題の簡単な解決策は、セットのすべてのペアを調べ、時間ペアの包含をチェックするため、全体的なランタイムはです。この問題はより速く解決できますか？文献にそれの名前はありますか？O(d)O(d)O(d)O(n2d)O(n2d)O(n^2 d)

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Coppersmith–Winogradアルゴリズムは、2つの正方行列を乗算するための漸近的に既知のアルゴリズムです。彼らのアルゴリズムの実行時間は であり、これはこれまでで最もよく知られています。このアルゴリズムの空間の複雑さは何ですか？それがである？n×nn×nn \times nO(n2.376)O(n2.376)O(n^{2.376})Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)

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許可された単語（アルファベット順）と単語の巨大なデータベースが与えられた場合、レーベンシュタイン距離に関して与えられた単語に最も近いデータベースから単語を見つけます。 単純なアプローチは、もちろん、指定された単語と辞書内のすべての単語間のレベンシュタイン距離を単純に計算することです（実際に距離を計算する前にデータベースでバイナリ検索を実行できます）。 この問題に対するより効率的な解決策があるのだろうか。おそらく、検索する単語の数を減らすヒューリスティック、またはレベンシュタイン距離アルゴリズムの最適化が可能です。 このテーマに関する論文へのリンクは歓迎です。

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合理的な作業効率でありながら、更新用の類似またはひどく悪いプロパティを持つ赤黒木に自然な並列類似物はありますか？ より一般的には、更新を伴う並列検索でできることは何ですか？

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30年後の未来を見てみましょう。楽観的になり、機械学習に関連する分野が過去10年間に見られたのと同じくらい迅速に発展し続けると仮定しましょう。それは素晴らしいことですが、そのような将来の伝統的なアルゴリズムの役割は何でしょうか？ ここで「従来のアルゴリズム」とは、TCSで従う通常のプロセスを指します。明確に定義された計算問題を形式化し、問題を解決するアルゴリズムを設計し、形式的なパフォーマンス保証を証明します。 今、私たちは、伝統的なアルゴリズムの設計と解析を使用する必要のあるアプリケーションの領域であり、将来的にも、機械学習のいずれかの進歩は、伝統的なアルゴリズミックスはほとんど無関係で作るということはほとんどありませんか？ 最初はこれはばかげた質問のように思えるかもしれません。もちろん、将来的にもソート、検索、インデックス作成などを行えるようにする必要があります！もちろん、フーリエ変換を効率的に行い、大きな行列を乗算し、最短経路を見つけ、線形最適化問題を解決できる必要があります！ しかし、再び、私たちが伝統的に設計したアルゴリズムを使用しているアプリケーションをより深く見始めると、伝統的なアルゴリズムの設計と分析がそのような問題に対する正しい答えであることはまったく明らかではありません：検索に関連するアプリケーションでは、通常、数学的意味で最適なもの（最小編集距離など）ではなく、漠然とした不明確な意味（例：意味的類似性）で人間に近いものを見つけることに関心があります。ルート計画に関連するアプリケーション、通常、いくつかの数学的な意味で最適なルート（最短距離や最低価格など）ではなく、例に基づいて適切なルート（他の人が好むルートなど）を見つけることに関心があります。そして、画像に曖昧で不明確な人間の要素があれば、TCSの研究者を出そうとするのではなく、例に基づいて適切な答えを出すようにコンピューターに教えるほうがよい場合があります従来のアルゴリズムの設計と分析によって取り組むことができる正式な計算問題を持ちます。 そのため、過去にアルゴリズムで行ってきたことも、正しい方法（そして唯一可能な方法）で進歩を遂げることが絶対に明らかであるアプリケーション領域（実際の直接的な産業アプリケーションが望ましい）とは何ですか？未来？ 機械学習手法でサブルーチンとして使用されるアルゴリズムは、明らかに将来性のある候補のように見えますが、これは使用する特定の機械学習手法に大きく依存しており、過去10年ほどで見たように、これは急速に変化する可能性があります。

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この質問は、理論上のコンピューターサイエンススタック交換で回答できるため、コンピューターサイエンススタック交換から移行されました。 3年前に移行され ました。 2016年の科学論文「でスケーラブルショアアルゴリズムの実現」[ 1 ]、著者らは、「必須」表1に従って8つの量子ビットよりも少ない場合にのみ5キュービットと15因子の[ 2 ]と[表5 3 ]。8キュービットの要件は、[ 4 ]の末尾にあり、ビット数の因数分解に必要なキュービット数はあり、15の場合はあると述べています。nnn1.5 n + 21.5n+21.5n+21.5 ⋅ 4 + 2 = 81.5⋅4+2=81.5\cdot 4 + 2=8 5量子ビットのみを使用する論文は、アルゴリズムが「M量子ビットに作用するQFTを単一の量子ビットに繰り返し作用する半古典的QFTに置き換える」と述べていますが、アルゴリズムの複雑さに対するこの結果は決して言及されていません。 今があった厳しい批判彼らはショアのアルゴリズムの複雑さの引数はもはや保持している第2節では言わないよう、「スケーラブル」な方法で因数15に主張した紙の。しかし、この批判はどこにも裏付けられておらず、Scienceの論文はShorのアルゴリズムの「スケーラブルな」バージョンとして称賛され続けています。「スケーラブル」Shorアルゴリズムの複雑さは何ですか？ [ 1 ] Monz et al。（2016）科学。巻 351、Issue 6277、pp。1068-1070 [ 2 ] Smolin et al。（2013）自然。499、163–165 [ 3 ] Dattani＆Bryans（2014）arXiv：1411.6758 [ 4 ] Zalka（2008）arXiv：quant-ph / 0601097 …

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ましょう NFAのことで与えられた2つの正規言語も入力として。L1,L2L1,L2L_1,L_2M1、M2M1,M2M_1,M_2 かどうかを確認したいとします。これは、積オートマトンを計算する2次アルゴリズムによって明らかに行うことができますがもっと効率的なものが知られているのではないかと思っていました。M 1、M 2L1∩ L2≠ ∅L1∩L2≠∅L_1\cap L_2\neq \emptysetM1、M2M1,M2M_1,M_2 かどうかを決定するアルゴリズムはありますか？既知の最速のアルゴリズムは何ですか？L 1 ∩ L 2 ≠ ∅o （n2）o(n2)o(n^2)L1∩ L2≠ ∅L1∩L2≠∅L_1\cap L_2\neq \emptyset

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P = NPでない限り、場合、最大独立集合（MIS）は係数内で近似するのが難しいことがわかります。より良い近似アルゴリズムが知られているグラフの特別なクラスは何ですか？n1−ϵn1−ϵn^{1-\epsilon}ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0 多項式時間アルゴリズムが知られているグラフは何ですか？完全なグラフについてはこれが知られていますが、他に興味深いグラフのクラスはありますか？

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与えられたは一瞬です。各ノードに到達可能なノードの数で各ノードにラベルを付けます。は自明な上限です。は下限です（と思います）。より良いアルゴリズムはありますか？下限を改善できると信じる理由はありますか（関連：推移的閉包の下限について正確に知られていること）？O(V(V+E))O(V(V+E))O(V(V+E))Ω(V+E)Ω(V+E)\Omega(V+E) 動機：folフォーミュラをダグとして表現しながら、これを数回しなければなりませんでした。 編集：を実行するだけで、到達可能なノードではなくパスをカウントことに注意してください。（これは、多くの人が、この単純な解決策は削除された回答で見た票で機能すると考えていたため、これを追加しました。）実際、この問題は、「共有」部分、複数のパス。また、それらが解決される場合、有向グラフを解決するのは簡単だからです。cx=1+∑x→ycycx=1+∑x→ycyc_x=1+\sum_{x\to y}c_y

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ツリーの幅は、グラフがツリーにどれだけ近いかを測定します。ツリーの幅を計算するのはNP困難です。最もよく知られている近似アルゴリズムは係数。O （log n−−−−√）O（ログn）O(\sqrt{{\log}n}) Courcelleの定理は、単項2次論理（MSO2）で定義可能なグラフのプロパティは、有界ツリー幅のグラフのクラスで線形時間で決定できると述べています。最近の論文は、「線形時間」が「ログスペース」に置き換えられた場合でも、クールセルの定理がまだ有効であることを示しました。ただし、これは、ツリー幅が制限されているグラフのグラフ同型の空間の複雑さを解決しません。最もよく知られている結果は、LogCFLにそれを置きます。 他の問題はありますか： 一般的なグラフ上のNP-hard（またはPにあることが知られていない） 制限されたツリー幅を持つグラフ上の線形/多項式時間で解けることが知られている LogSpaceにあることが知られていない？

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8月31日に更新された投稿：元の質問の下に現在の回答の概要を追加しました。おもしろい答えをありがとう！もちろん、誰もが新しい発見を投稿し続けることができます。 どのグラフファミリについて、色数を計算するための多項式時間アルゴリズムが存在しますか？χ(G)χ(G)\chi(G) この問題は、（2部グラフ）の場合、多項式時間で解決できます。一般に、χ （G ）≥ 3、色数を計算することはNP困難であるが、これが当てはまらない場合、多くのグラフファミリがあります。たとえば、彩色サイクルと完全なグラフは、多項式時間で実行できます。χ(G)=2χ(G)=2\chi(G) = 2χ(G)≥3χ(G)≥3\chi(G) \ge 3 また、多くのグラフクラスでは、対応する色多項式を単純に評価できます。Mathworldのいくつかの例。 上記のほとんどは常識だと思います。最小のグラフの色付けが多項式時間で解ける他の（自明でない）グラフファミリがあるかどうか喜んで学びます。 特に、正確で決定的なアルゴリズムに興味がありますが、興味深いランダム化アルゴリズムまたは近似アルゴリズムを自由に指摘してください。 アップデート（8月31日）： 興味深い回答を提出してくださった皆さんに感謝します。回答と参考文献の簡単な要約を以下に示します。 完璧でほぼ完璧なグラフ 幾何学的アルゴリズムと組み合わせ最適化（1988）、第9章（グラフの安定セット）。マーティン・グロッシェル、ラズロ・ロバス、アレクサンダー・シュライバー。 本の第9章では、最小加重クリーク被覆問題を介して色付け問題を解決する方法を示しています。それらは楕円法に依存しているため、これらのアルゴリズムは実際にはあまり有用ではないかもしれません。また、この章には、完全なグラフのさまざまなクラスに関する素晴らしい参照リストがあります。 Combinatorial Optimization（2003）、Volume B、Section VI Alexander Schrijver。 この本には、完全なグラフとその多項式時間彩色性に専念する3つの章があります。簡単に見てみましたが、基本的なアプローチは前の本と同じようです。 b完全グラフの特性（2010）。チン・T・ホアン、フレデリック・マフレ、メリーム・メチェベック 制限されたツリー幅またはクリーク幅のグラフ クリーク幅が固定されたグラフのエッジ支配セットとカラーリング（2001）。ダニエル・コブラー、Udi Rotics ここでのアルゴリズムでは、パラメーターとしてk式（有界なクリーク幅でグラフを構築するための代数式）が必要です。一部のグラフでは、この式は線形時間で計算できます。 Yaroslavは、有界ツリー幅グラフのカラーリングをカウントする方法で指摘しました。以下の彼の答えをご覧ください。 kkk 頂点カラーリングのパラメーター化された複雑さ（2003）。ライゼン・カイ。 kkkkkk コーダルグラフのパラメータ化されたカラーリング問題（2006）。ダニエル・マルクス。 kkkkkk 特定のサブグラフを含まないグラフ 多項式時間でのP5-Freeグラフのk-Colorabilityの決定（2010）。チン・T・ホアン、マルシン・カミンスキー、ヴァディム・ロジン、ジョー・サワダ、シャオ・シュウ。 多項式時間での3色のATフリーグラフ（2010）。ジュラジ・スタチョ。 四分木を着色 クワッドツリーを着色するためのアルゴリズム（1999）。David Eppstein、Marshall W. Bern、Brad Hutchings。

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AKS素数性テストアルゴリズムの最初のステップは、入力数が完全なべき乗かどうかを確認することです。論文では詳細に説明されていないため、これは数論でよく知られている事実のようです。誰かが多項式時間でこれを行う方法を教えてもらえますか？ありがとう。

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平面グラフGとしてモデル化された電気ネットワークを考えます。各エッジは1Ω抵抗を表します。 Gの2つの頂点間の正確な実効抵抗をどれくらい迅速に計算できますか？ 同様に、Gの2つの頂点に1Vのバッテリーを取り付けた場合、各エッジに沿って流れる正確な電流をどれくらい迅速に計算できますか？ キルヒホッフのよく知られている電圧と電流の法則は、この問題を軽減し、エッジごとに1つの変数を持つ線形方程式を解くことになります。より最近の結果-Klein andRandić（1993）によって明示的に記述されていますが、Doyle and Snell（1984）の初期の研究では暗黙的です-そのノードのポテンシャルを表す頂点ごとに1つの変数を持つ線形システムを解く問題を軽減します; この線形システムの行列は、グラフのラプラシアン行列です。 どちらの線形システムも、ネストされた解剖と平面セパレーターを使用して、時間で正確に解くことができます[ Lipton Rose Tarjan 1979 ]。 これは既知の最速のアルゴリズムですか？O （n3 / 2）O(n3/2)O(n^{3/2}) Spielman、Teng、およびその他の最近の独創的な結果は、任意のグラフのラプラシアン系がほぼ線形時間でほぼ解けることを意味しています。現在の最高の実行時間については[ Koutis Miller Peng 2010 ]を参照してください。概要については、Simons FoundationのErica Klarreichによるこの驚くべき記事を参照してください。しかし、私は特に平面グラフの正確なアルゴリズムに興味があります。 一定時間で正確な実数演算をサポートする計算モデルを想定します。

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