ラムダ計算の拡張におけるη変換対拡張性
私はしばしば、η変換と拡張性の関係に混乱しています。 編集：コメントによると、外延的等価性と観察的等価性の関係についても混乱しているようです。しかし、少なくとも、関数の拡張等式（仮定として）、および単純に型付けされたラムダ計算（完全に抽象的なセマンティクスを持っていますが、私が間違っていない場合）のAgdaでは、表示的等価は観測的等価と同じです。コメントや回答を自由に修正してください。これらの問題について体系的な教育を受けたことはありません。 型付けされていないラムダ計算では、eta-ruleは、Barendregtによって証明されているように、拡張性ルールと同じ証明システムを提供します（この質問への回答で引用）。私は、イータルールを備えた証明システムが観測的同等性のために完全であることを理解しています（他の回答から、ξルールルール、つまりバインダーIIUCの下での削減が必要です;そのルールを追加しても問題ありません） 。 ただし、型付き計算に切り替えて、この計算を追加の基本型と対応する導入および消去形式で拡張すると、どうなりますか？観測的等価性の完全な証明システムをまだ書くことはできますか？証明システムについては、ミッチェルのプログラミング言語の基礎（FPL）に従って公理セマンティクスの形式で説明します。証明システム/公理的意味論は、プログラムの等価性を定義します。 質問1：バレンドレグの定理はSTLCに拡張されますか？η等価性は、その文脈での拡張性と同等ですか？ 私はFPLのPCFに関する議論を閲覧しています（しかし、まだセクションは終了していません）。ペアを追加すると、拡張性には追加のルール、つまり全射ペアリングが必要になるようですpair (Proj1 P, Proj2 P) = P。興味深いことに、このルールは、ηルールが関数の導入と削除に関連するのとまったく同じように、ペアの導入と削除に関連しています。 質問2：ペアをもつ単純型付きλ計算の拡張性を証明するために、全射ペアリング公理を追加するだけで十分ですか？編集：質問2b：この論文で言及されたη法則のように、私が言及した構造的類似性のために、全射対はη法則ですか？ さあ、PCFに行きましょう。私が見た外延的平等の説明は、外延性が帰納法による証明の規則を暗示していることを証明しているが、それで十分かどうかは述べていない。PCFはチューリング完全であるため、拡張等式は決定不能です。ただし、プルーフの長さには制限がないため、完全なプルーフシステムがないことを意味するものではありません。さらに関連して、そのような証明システムは、ゲーデルの不完全性定理と矛盾する可能性があります。そして、その議論はfix、なしのPCF と、ゲーデルのシステムTにも当てはまるかもしれません。 質問3：PCFの観測的同等性の完全な証明システムはありますか？なしのPCFはfixどうですか？ 更新：完全な抽象化 ここでは、完全な抽象化に関するコメントについて回答します。PCFには2種類の問題があると思います。非修正（修正による）があり、完全な抽象化が失われますが、自然数もあります。両方の問題により、観察の等価性を扱いにくくしていますが、私は互いに独立していると考えています。 一方では、PCFは並列またはセマンティックドメインに住んでいるため完全な抽象化を失い（Plotkin 1977）、それは非終了に関係しているようです。Ralph Loader（2000、「初期PCFは決定不能」）は、最終PCF（ナチュラルなし、ただし終端なし）が既に決定不能であることを示しています。したがって、（私が正しく要約すれば）完全に抽象的なセマンティックは、計算可能な操作を持つドメインに制限できません。 一方、終端なしのゲーデルのシステムTを使用します。（完全に抽象的なセマンティクスを持っているかどうかはわかりませんが、問題はPCFについてのみ言及されているため、はい推測しています。ドメインには高次のプリミティブな再帰関数が含まれている必要があります）。Harperの「プログラミング言語の実践的基礎」では、この言語の観察的同等性について説明しています。秒 47.4は「いくつかの平等の法則」と題されており、観測的等価性に関するいくつかの許容可能な証明規則を示しています。証明システムが完全であるかどうかはどこにも書かれていないので、そうではないと思いますが、それが完了できるかどうかについても議論されていません。私の最良の推測は、ゲーデルの不完全性の定理にリンクしています。