インタラクティブ証明システムの風景

私の最初の質問は、インタラクティブな証明システムの特性評価がすべての古典的な複雑度クラスで知られているかどうかです。私は、P、NP、PSPACE、EXP、NEXP、EXPSPACE、再帰的および再帰的に列挙可能な関数をクラシック（特に）と呼びます。具体的には、対話型証明システムの特性評価は、再帰的および再帰的に列挙可能な関数で知られていますか？

IP = PSPACEおよびMIP = NEXPTIMEのみを知っています。「知る」とは、平等の両側のオブジェクトの定義を理解し、おそらく平等を理解することを意味します。

2番目の質問は、さまざまなタイプのインタラクティブな証明システムとそれらが特徴付ける複雑さのクラスのグラフィカルな要約があるかどうかです。

具体的には、Immermanの記述の複雑さの特性化の図に似た図を参照してください。

cc.complexity-theory big-picture interactive-proofs

— ヴィジェイD
ソース

あなたはすでに何を知っていますか？

— 伊藤剛

対話型証明システムには複数の変数パラメーターがあります。検証者の能力、証明者の能力、許可される通信の種類（および量）、事前共有ランダム性、検証者の能力証明からメッセージ全体を読むために持っているか、彼はメッセージへのランダムアクセスを持っていない、など

— ロビンコタリ

もう少し考えた後、インタラクティブ証明システムは計算複雑性理論の幅広いトピックであるため、あなたの質問に適切に答えられるとは思いません。計算の複雑さの第9章： Goldreichによる概念の視点、または計算の複雑さの第8章と第11章： AroraとBarakによる現代的なアプローチを確認することをお勧めします。

— 伊藤剛

@VijayD：はい、それは問題の一部です。記述的な複雑さの特性評価では、1つの変数（ロジック）があるため、FOからSOに上がるにつれて、AC0からPHなどに進みます。インタラクティブな証明システムには、多くの変数があるため、風景を描くことができます。

— ロビンコタリ

この質問が十分に明確に指定されているかどうかはわかりません。些細な答えがあります。すべてのクラスは、「対話型証明」として「特徴づけられる」ことができ、証明者は基本的にあまり何もせず、検証者は十分に強力です。IP = PSPACEおよびMIP = NEXP（およびPCP [O（\ log n）、O（1）] = NP）の結果に関する興味深い点は、検証者が驚くほど弱いことです。

— サショニコロフ

回答:

Condonの有名な調査である「スペースに制限のあるインタラクティブな証明システムの複雑さ」では、多くの特性評価（特にスペースに制限のある検証者に関する）を見つけることができます。

以下にそれらのリストを示します。

$\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}IP(2pfa)}$ 、ここで2pfa（検証者）は双方向確率有限オートマトンです。
$\mathsf{R} = \mathsf{2IP(pfa)}$ 。ここで、pfa（検証者）は、2つの証明者と対話する一方向の確率的有限オートマトンです。
$\mathsf{NEXP} = \mathsf{2IP(pfa,poly\mbox{-}time)}$ 。
$\mathsf{PSPACE} = \mathsf{IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)}$ 。
$\mathsf{NP} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,log\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$ 。
$\mathsf{P} = \mathsf{AM(log\mbox{-}space)}$ 、など $\mathsf{EXP} = \mathsf{AM(poly\mbox{-}space)}$

いくつかの最近の（主に量子）結果：

$\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}AM(2qcfa)}$ by Yakaryilmaz、ここで2qcfa（検証者）は一定サイズの量子レジスターを持つ双方向有限オートマトンです。
$\mathsf{R} = \mathsf{IP(2pca)} = \mathsf{AM(2qca)}$ by Yakaryilmaz、ここで2pca（前者の検証者）は1つのカウンターと2qca（後者の検証者）を含む双方向確率有限オートマトン）は、1つのカウンターを持つ双方向量子有限オートマトンです。
伊藤、小林、およびワトラウスは、完全性と健全性のケース間の許容確率に二重指数関数的に小さなギャップがある量子インタラクティブ証明システムに基づいて、新しい特徴付けを行いました。 $\mathsf{EXP}$
$\mathsf{PSPACE} = \mathsf{QIP(poly\mbox{-}time)}$ by Jain、Ji、Upadhyay、Watrous、ここでQIPはIPシステムの量子一般化です。
$\mathsf{NP}$ は、メンバーシップが完全な完全性と健全性を備えた対数サイズの量子証明を持つ言語のクラスです。ベリファイアが2つのもつれのない部分（BlierとTapp）。
$\mathsf{NL} = \mathsf{weak\mbox{-}oneway\mbox{-}IP(2pfa,constant\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$ によって言ってYakaryilmaz。

— アブザール・ヤカリルマズ
ソース

ありがとう！これはまさに私が欲しかったものです。私は質問を改善する方法に途方に暮れていたが、それは専門家には曖昧すぎて、私の意図を理解してくれてうれしい。

— ビジェイD

それでは、ベストアンサーとしてマークしてみませんか？

— セムセイ

明日は何をもたらすのか誰が知っているから？投稿してから1週間または10日後に決定します。

— ビジェイD

NPは、証明者が多項式の長さの証明を決定論的な多項式時間検証器に送信し、その後相互作用がない証明システムとして特徴付けられることがよくあります。再帰的に列挙可能な言語のクラスは、「多項式」を「有限」に置き換えることで同様に特徴付けることができます。

また、再帰言語のクラスRはREとcoREの共通部分であるため、Rを証明システムとして特徴付けることができます。このシステムでは、強力な証明者が正しい主張の有効性と虚偽の主張。

クラスEXPは、「競合する証明者」を含む証明システム、つまり、検証者に主張が真実であると納得させようとする証明者と、検証者に主張は偽です。詳細については、FeigeとKilianの論文「Making games short」を参照してください。

— またはメイアー
ソース