白象のギフト交換：公正な分割のメカニズム

北米のホリデーパーティーで人気のあるゲームは白象の贈り物交換です。簡単に言えば（バリエーションを無視して）、次のように機能します。

あり人とn個の未開封ギフトを。プレイヤーは任意に注文されます。ではI 番目のラウンド、プレイヤーIのいずれか$n$$n$$i^{\text{th}}$$i$

• ラップされたギフトを選択し、プレゼントとしてアンラップします
• 既に開かれているギフトの1つを「盗む」（一部のプレーヤー）。$k < i$

プレイヤーのギフトが盗まれた場合、同じことをする機会があります。プレーヤーがラップされたギフトを選択すると、ラウンドが完了します。

システムにはさまざまなバリエーションがありますが、注意すべき点の1つは、最後に行くプレーヤーはアンラップされたギフトを選択する能力だけが保証されているため、不公平な利点があるということです。

これは、分割不可能な商品に関する公平な分割方法のクラスに分類されます（ケーキの切断とは異なります）。

私の質問は：

公平な贈り物を支払うためのメカニズムはありますか（各プレイヤーが評価の下で価値の高い贈り物を選ぶ同じ機会を持っているという点で）？

商品は分割不可能であり、プレイヤーに対する金銭的補償を導入していないため、フェアの定義にはある程度の柔軟性が必要になることに注意してください。

これは完全な答えではありませんが、不完全なものです。

慣れていない人のための背景と関連するライト-

優れたプロパティはvy望のないものであり、メカニズムが完了した後、他のプレイヤーと他のプレイヤーとの取引を希望することはありません。残念ながら、分割できない商品でお金がない場合、これは不可能であることがわかります（2人が両方とも最高だと思うものが1つあるかもしれません）。もう1つの一般的なプロパティは比例であり、誰もが以上の値であると考えるものを取得します。また、これを常に入手することは明らかに不可能です（誰も欲しくないアイテムがあるかもしれませんが、誰かがそれで終わらなければなりません）。$1/n$

[1]は、分割できない商品のシナリオで最小minimum望の配分を計算することに焦点を当てています。彼らは、最小のvy望のメカニズムが真実でありえないことを示します。ただし、安定した価格でゲームを設計できる可能性があります（プレイヤーが真実ではない場合でも）。

[2]「最大-最小公平性」の基準を適用します。アイデアは、各プレイヤーのアイテムのサブセットに対する評価関数を考慮し、セット全体で1つに正規化し、エージェントの最小の効用を最大化する割り当てを見つけることです。繰り返しますが、彼らはここでのユニット需要の設定を考慮していません。他の人はこの問題の近似アルゴリズムを研究していますが、この制限を誰かが検討したかどうかはわかりません。

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すべてのプレイヤーが他の人の割り当てをcaseまないことを保証する戦略を持っている場合、メカニズムは通常、（常にではないかもしれませんが）通常vy望がないと見なされます。彼女が期待される効用を最大化するために遊んでいる場合、彼女はenするかもしれないし、そうでないかもしれない。比例についても同様です。

このため、公正な分割に対するこの哲学的アプローチを採用した場合に自然な方法でこれらの概念を緩和しようとするのは難しいです。期待して-望から解放されることを望む「事前のen望から解放」のような基準を定義するのは魅力的かもしれません（それが何であれ）。しかし、これは現在の哲学からのまったく新しいトラックで本当に出発するだろうと思います。もしそうするなら、en望の自由や比例の概念を完全に捨てて、そもそも期待効用マキシマイザーがこれらの公平な分割ゲームをどのようにプレイするかについて考え始めるべきだと思います。

$n$$\frac{1}{n}$

これを回避するには、代わりに順序基準を考慮する必要があると思います。「自然な」リラクゼーションとして以下を提案します。

$(\varepsilon,\delta)$$1-\varepsilon$$\delta n$

$(\varepsilon,\varepsilon)$$\varepsilon$$\varepsilon n$$\varepsilon n$

$(\varepsilon,\varepsilon)$$\varepsilon$

$(\varepsilon,\varepsilon)$

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[1]リプトン、マルカキス、モスセル、サベリ。「分割できない商品のほぼ公正な配分について。」EC 2004。

[2]ベザコワ、ダニ。「分割できない商品の割り当て。」SIGECOM 2005。

[3]まあ、ランダムなシリアル独裁者もそうですが、ランダムなシリアル独裁者はしばしば理論的に素晴らしい特性を持っています。また、各アイテムは1ラウンドに1回しか盗まれないと想定しています。

白象のギフト交換体験の多くは、ランダム選択によっても制御されます。人気のあるバリエーションには、最初に選んだルールが最後に含まれますが、必ずしもルールに含まれるわけではありません。これは、方程式から最初にランダムに選択されるという不当な利点を利用します。別のルールでは、ゲームに直接の「スチールバック」がないことを要求しています。さらに、ほとんどのゲームは「スリータッチ」ルールでプレイされます。つまり、一度開いてから1回盗まれ、2回盗まれると、将来の盗みからフリーズします。この規則は、二度触れられた贈り物を選ぶことを選択した人々に、別のレベルの不公平な利点をもたらします。

AlbinoPhantとしてのレクリエーションスペシャリストは、これらのギフトスワップゲームを一年中研究しています。ゲームにランダムな次元を追加する場合は、ゲームプレイ内でLeft-Rightストーリーを使用します。レフティザホワイトエレファントの物語がサンプルとして提案されています。

このアクティビティ内でギフトを交換することの実際のメリットは、このプロセスが生み出す社会的関与です。ギフトは通常、大きな冗談の楽しさの二次的なものです。それにもかかわらず、すべてのプレイヤーはある程度のギフト報酬を残して去ります。

$n$$G$$G$$n$$n$

$\Omega(\log n)$

さて、上記は、プレイヤーがスペクトルグラフ理論および/またはモジュラーインバースの計算に興味を持っていた場合に私たちがしたであろうことを説明しています:)私たちは実際に通常の方法でプレイしました。