セットのコレクションに含まれない最小セット

入力として整数との要素の集合の集合が与えられると、の要素の集合を見つけることの複雑さは何ような最小カーディナリティを有し、セットのいずれに含まれる？$n$$S$$\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

$[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$$i = 1, 2, \dotsc, m$

質問に答えるには、場合にのみ、に注意してください。つまり、は各補数と交差するます。しかし、これはあなたの問題が本質的にヒットセットの問題と同等であることを意味します（入力）：$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

打撃セット。 セットファミリー所与と整数kは、セットが存在しないT \ subseteq [N]と| T | \ le kおよびT \ cap S \ not = \ emptyset for all S \ in \ mathcal {F}？$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

ヒットセットはNP完全であることが知られており、厳密に言えば、強力な指数時間仮説が失敗しない限り、時間よりも速く解くことができません。$O(2^n)$

この問題は、Set Cover問題/ Hitting Set問題と同等です。

家族所与のサブセットの{ 1 、... 、N }、セット見つけるT ⊂ { 1 、... 、N }ファミリー内のすべてのセット交差最小可能サイズのFを。$\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

あなたの問題は、以来、打撃集合問題と等価であるの任意のセットにないSであれば、それは内のすべてのセットと交差する場合にのみ、Fを = { ˉ A：A ∈ S }。（SO打つ集合問題のインスタンスを解決するために、それが持つ問題のインスタンスを解決するために十分でS = { ˉ A：A ∈ Fを }。）$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

ヒッティングセットの問題はNP困難です[Karp '72]。そのための近似アルゴリズムと、近似結果の一致する硬度があります[Lund、Yannakakis '94、Feige '98]。$O(\log n)$