ラムダ計算の拡張におけるη変換対拡張性

私はしばしば、η変換と拡張性の関係に混乱しています。

編集：コメントによると、外延的等価性と観察的等価性の関係についても混乱しているようです。しかし、少なくとも、関数の拡張等式（仮定として）、および単純に型付けされたラムダ計算（完全に抽象的なセマンティクスを持っていますが、私が間違っていない場合）のAgdaでは、表示的等価は観測的等価と同じです。コメントや回答を自由に修正してください。これらの問題について体系的な教育を受けたことはありません。

型付けされていないラムダ計算では、eta-ruleは、Barendregtによって証明されているように、拡張性ルールと同じ証明システムを提供します（この質問への回答で引用）。私は、イータルールを備えた証明システムが観測的同等性のために完全であることを理解しています（他の回答から、ξルールルール、つまりバインダーIIUCの下での削減が必要です;そのルールを追加しても問題ありません）。

ただし、型付き計算に切り替えて、この計算を追加の基本型と対応する導入および消去形式で拡張すると、どうなりますか？観測的等価性の完全な証明システムをまだ書くことはできますか？証明システムについては、ミッチェルのプログラミング言語の基礎（FPL）に従って公理セマンティクスの形式で説明します。証明システム/公理的意味論は、プログラムの等価性を定義します。

質問1：バレンドレグの定理はSTLCに拡張されますか？η等価性は、その文脈での拡張性と同等ですか？

私はFPLのPCFに関する議論を閲覧しています（しかし、まだセクションは終了していません）。ペアを追加すると、拡張性には追加のルール、つまり全射ペアリングが必要になるようですpair (Proj1 P, Proj2 P) = P。興味深いことに、このルールは、ηルールが関数の導入と削除に関連するのとまったく同じように、ペアの導入と削除に関連しています。

質問2：ペアをもつ単純型付きλ計算の拡張性を証明するために、全射ペアリング公理を追加するだけで十分ですか？編集：質問2b：この論文で言及されたη法則のように、私が言及した構造的類似性のために、全射対はη法則ですか？

さあ、PCFに行きましょう。私が見た外延的平等の説明は、外延性が帰納法による証明の規則を暗示していることを証明しているが、それで十分かどうかは述べていない。PCFはチューリング完全であるため、拡張等式は決定不能です。ただし、プルーフの長さには制限がないため、完全なプルーフシステムがないことを意味するものではありません。さらに関連して、そのような証明システムは、ゲーデルの不完全性定理と矛盾する可能性があります。そして、その議論はfix、なしのPCF と、ゲーデルのシステムTにも当てはまるかもしれません。

質問3：PCFの観測的同等性の完全な証明システムはありますか？なしのPCFはfixどうですか？

更新：完全な抽象化

ここでは、完全な抽象化に関するコメントについて回答します。PCFには2種類の問題があると思います。非修正（修正による）があり、完全な抽象化が失われますが、自然数もあります。両方の問題により、観察の等価性を扱いにくくしていますが、私は互いに独立していると考えています。

一方では、PCFは並列またはセマンティックドメインに住んでいるため完全な抽象化を失い（Plotkin 1977）、それは非終了に関係しているようです。Ralph Loader（2000、「初期PCFは決定不能」）は、最終PCF（ナチュラルなし、ただし終端なし）が既に決定不能であることを示しています。したがって、（私が正しく要約すれば）完全に抽象的なセマンティックは、計算可能な操作を持つドメインに制限できません。

一方、終端なしのゲーデルのシステムTを使用します。（完全に抽象的なセマンティクスを持っているかどうかはわかりませんが、問題はPCFについてのみ言及されているため、はい推測しています。ドメインには高次のプリミティブな再帰関数が含まれている必要があります）。Harperの「プログラミング言語の実践的基礎」では、この言語の観察的同等性について説明しています。秒 47.4は「いくつかの平等の法則」と題されており、観測的等価性に関するいくつかの許容可能な証明規則を示しています。証明システムが完全であるかどうかはどこにも書かれていないので、そうではないと思いますが、それが完了できるかどうかについても議論されていません。私の最良の推測は、ゲーデルの不完全性の定理にリンクしています。

pl.programming-languages lambda-calculus

— ブレイザーブレード
ソース

私はこれのいくつかに答えることができると思うが、あなたが何を求めているかについて私は混乱している。あなたが言及する質問は、プログラムの同等性に関するものではありません。観察的等価性を意味しますか？どのような操作上のセマンティクスですか？したがって、本質的に、質問1の「証拠」が何を指しているのかを正確に説明すれば、何が起こっているのか推測できると思います。これまでの私の推測では、観測的等価性について完全な等式理論が必要であり、

ルールで十分かどうかを尋ねています。それですか？

η

$\eta$

— アンドレバウアー

@AndrejBauer：あなたの推測は正しいです、私は質問を更新し始めます。

— ブレイザーブレード

動作のセマンティクスについてはわかりません-それは元の定理に違いをもたらしますか？

— ブレイザーブレード

質問をさらに洗練させようとしました。しかし、私はまだあなたの最良の推測が正しいと思います。

— ブレイザーブレード

ここには小さな問題があります：

が自然数に対して何であるかは本当に明確ではありません！あなただけのだけの機能や製品の種類を持っている場合は、明確にしている：用語は、彼らがしている場合に限っobservationally等価です

等しいです。より一般的には、これは完全な抽象化の問題に関連していると思います。

η

$\eta$

β η

$\beta\eta$

— コーディ

あなたの質問に完全に答えられるかどうかはわかりませんが、試してみて、このテーマに関するさらなる議論を促すかもしれない、私自身の質問をいくつかします。

2つの用語：私の最初のポイントはこれですで型なし -calculusであると言われているobservably等しいすべての期間のためのIFF ： 終了の手段は、「持っている -normalフォームを」 $t, t'$ $\lambda$ $M$

M t 終了する \Leftrightarrow M t^{'} 終了する

$M\ t \mbox{ terminates } \Leftrightarrow M\ t' \mbox{ terminates }$

β

$\beta$

単純に用語代わりに「穴」またはコンテキスト 持つ用語を検討し、代わりにを記述する方が自然だと思います。（変数は、コンテキストによってバインドされていない場合）の抽象化を使用すると、コンテキスト回すことを可能にするように、2つのビューは、確かに等価である項に。 $E[\_]$ $M$ $E[t]$ $M\ t$ $E[\_]$ $\lambda x.E[x]$

今では、型指定されていない計算での観測平等がされているという事実である捉えられないことにより、 -equality！実際、用語のクラス全体が存在しますが、それらは終了せず、頭の標準形も持たないため、すべて明らかに等しいです。これらは時々呼ばれる永久用語または解決不可能という用語は、ここでは二つのそのような用語である：および $\beta\eta$

（ λ バツ 。 バツ バツ ） （ λ バツ 。 バツ バツ ）

$(\lambda x. x\ x)(\lambda x. x\ x)$

これは、これらの用語ではないことを示すためには非常に簡単だ

-equal。

（ λ バツ 。 バツ バツ バツ ） （ λ バツ 。 バツ バツ バツ ）

$(\lambda x. x\ x\ x)(\lambda x. x\ x\ x)$

β η

$\beta\eta$

すべての永続用語が特定されると、古典的な結果によって観測的平等が完全に捕捉されます（Barendregt定理16.2.7を参照）。

型付き計算の場合。まず、自然数のない単純に型付けされた計算を考えてみましょう。上記の観察的平等の定義は、すべての用語が正規化されるので簡単になります！もっと細かく区別する必要があります。と型の帰納法によって定義される閉じた項に対して、値の等しいを使用します。まず、各タイプに、無限数の定数追加しましょう。定数選択します $\lambda$ $t_1\downarrow t_2$ $t_1$ $t_2$ $A$ $c_A, c_A', c''_A,\ldots$ $c_x$ 各変数に対応する適切なタイプ。 $x$

ベースタイプで、 IFF の-head正規形ある $B$ $t_1\downarrow t_2$ $\beta$ $t_1$ とのであり、およびとそれぞれのタイプで。 $c\ u_1\ldots u_n$ $t_2$ $d\ v_1\ldots v_n$ $c=d$ $u_1\downarrow v_1,\ldots, u_n\downarrow v_n$
矢印タイプでは、両方の項 -reduceを - abstractionにすると、なります。 $t_1\downarrow t_2$ $\beta$ $\lambda$

この定義では、変換のみを使用していることに注意してください。 $\beta$

今、私はあることをコンテキストを定義します。は、それぞれヘッドコンテキスト、アプリケーション、抽象化、および置換（クローズドタームによる）です。

[_] ∣ E [_] あなたは ∣ t E [_] ∣ λ バツ 。 E [_] ∣ E [_] θ

$[\_]\mid E[\_]\ u\mid t\ E[\_]\mid \lambda x.\ E[\_]\mid E[\_]\theta$

次に、すべてのコンテキスト場合にのみ、観察的に等価になるように、型型が適切に定義されたおよび定義できます $t$ $t'$ $T$ $E[\_]$ ようによく型付けされ、閉じました。この場合と書く $E[t],E[t']$

E [t] ↓ E [t^{'}]

$E[t]\downarrow E[t']$

t =_{o b s} t^{'}

$t=_{\mathrm{obs}}t'$

今なら、それを観察するのは簡単ですその後、。他の方向はあまり簡単ですが、また、保持している：場合は確かに、、我々は条件が平等であることを示すことができるタイプの誘導によって： $t=_{\beta\eta}t'$ $t=_{\mathrm{obs}}t'$ $t=_{\mathrm{obs}}t'$ $\beta\eta$

基底型では、単にをとし、はを送信する置換です。我々は持っている。次に、、ます。今、私たちはすぐにそれを締結することはできませんし $E[\_]$ $[\_]\theta$ $\theta$ $x$ $c_x$ と。我々は持っていると $E[t]=t\theta$ $E[t']=t'\theta$ $t\theta\rightarrow_\beta c_x\ u_1\theta\ldots u_n\theta$ $t'\theta\rightarrow_\beta c_{x'}\ v_1\theta\ldots v_n\theta$ $c_x=c_{x'}$ $x=x'$ 。もし実際に、とある -abstractions、その後、自明！ここでのコツはを送信することです $u_i\theta=_{\beta\eta}v_i\theta$ $u_i$ $v_i$ $\lambda$ $u_i\theta\downarrow v_i\theta$ $x$ と必要な回数としてこれを繰り返します。ここでの詳細については少しあいまいですが、アイデアはベームの定理（Barendregt再び 10.4.2）に似ています。
$λ \vec{y} 。 \overset{〜}{c_{バツ}} （ y_{1} \vec{c_{1}} ） \dots （ y_{n} \vec{c_{n}} ）$ $\lambda \vec{y}.\tilde{c_x}\ (y_1\vec{c_1})\ldots (y_n\vec{c_n})$
矢印型で、取るであることが、すなわちへの適用と及びしないで又は。帰納法の仮説により、 $E[\_]$ $[\_]\ c_y$ $c_y$ $c_y$ $y$ $t$ $t'$ など与え
$t c_{y} =_{β η} t^{'} c_{y}$ $t\ c_y \ =_{\beta\eta}\ t'\ c_y$ $t y =_{β η} t^{'} y$ $t\ y \ =_{\beta\eta}\ t'\ y$ 、最後にすることにより-equality： $\lambda y.t\ y\ =_{\beta\eta}\ \lambda.t'\ y$ $\eta$ $t =_{β η} t^{'}$ $t\ =_{\beta\eta}\ t'$

予想以上に大変でした！

よしだが、システムT.レッツがタイプ追加取り組むせコンストラクタ、ミックスにと、およびA recursor タイプごとに、 "持つ -rules" $\mathbb{N}$ $0$ $S$ $\mathrm{rec_T}$ $T$ $\beta$

r e c_{T} u v 0 \to_{β} あなたは

$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ 0\rightarrow_{\beta} u$

r e c_{T} あなたは v （ S n ） \to_{β} v n （ r e c_{T} あなたは v n ）

$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ (S\ n)\rightarrow_{\beta} v\ n\ (\mathrm{rec_T}\ u\ v\ n)$

上記と同じ定理を証明したいと思います。次のような等価性を証明するために「 -rules」を追加するのは魅力的です。 $\eta$

λ バツ 。 バツ =_{β η} r e c_{N} 0 （ λ k m 。 S m ）

$\lambda x.x\ =_{\beta\eta}\ \mathrm{rec_{\mathbb{N}}}\ 0\ (\lambda k\ m.S\ m)$

m

$m$

\frac{f （ S バツ ） =_{β η} h バツ （ f バツ ）}{f t =_{β η} r e c_{T} （ f 0 ） h t}

$\frac{f\ (S\ x)\ =_{\beta\eta}\ h\ x\ (f\ x)}{f\ t\ =_{\beta\eta}\mathrm{rec_T}\ (f\ 0)\ h\ t}$

x

$x$

η

$\eta$

h

$h$

${\cal M}$ $t_{\cal M}$ $T$ $t_{\cal M}\ (S\ldots\ S\ 0)$ $n$ $S$ $1$ ${\cal M}$ $n$ $0$

${\cal M}$

t_{M} = λ バツ .0

$t_{\cal M}\ = \lambda x.0$

β η

$\beta\eta$

M

${\cal M}$

0 =_{β η} S 0

$0\ =_{\beta\eta}\ S\ 0$

T

$T$

t_{M} = λ x .0

$t_{\cal M}=\lambda x.0$

— コーディ
ソース

ご回答有難うございます！私の最初の質問は次のとおりです。通常、観測的等価性のコンテキストで置換を使用しますか？少なくともPlotkinのLCF論文（1997）はそれをしていません（ただし、置換のようなものが構文の一部である閉包計算では、そのようなものが理にかなっていると想像できます）。しかし、「置換」コンテキストごとに、ラムダ抽象化とアプリケーションだけを使用する（標準）コンテキスト（たとえば（λx。[]）c_x）を定義できます。したがって、上記の観測的等価性は、私が慣れている定義と同等であると思います。

— ブレイザーブレード

t = λ x .0

$t = \lambda x.0$

0 =_{β η} S 0

$0 =_{\beta\eta} S 0$

M

${\cal M}$

0 =_{β η} S 0

$0 =_{\beta\eta} S 0$

0 \neq_{β η} S 0

$0 \not=_{\beta\eta} S\ 0$

M

${\cal M}$

t = λ x . 0

$t = \lambda x . 0$

3.注意してください

P A

$\mathrm{PA}$

0 \neq 1

$0\neq 1$

P A ⊬ 0 = 1

$\mathrm{PA}\not\vdash 0=1$

T

$T$

\frac{f 0 = g 0 f （ S 0 ） = g （ S 0 ） \dots}{f = g}

$\frac{f\ 0=g\ 0\quad f\ (S\ 0)=g\ (S\ 0)\ldots}{f=g}$

そのとおり！ただし、証明理論の目的（順序分析など）でこのような「初期」システムを検討することは理にかなっています。

— コーディ