0-1線形計画法：最適定式化の計算

検討次元空間、およびlet形の線形制約である、ここで、と。 $n$ $\{0,1\}^n$ $c$ $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ $a_i \in \mathbb{R}$ $x_i \in \{0,1\}$ $k \in \mathbb{R}$

明らかに、はを2つのサブセットおよびに分割する効果があります。はを満たす点のみが含まれ、は改ざんする点のみが含まれ。 $c$ $\{0,1\}^n$ $S_c$ $S_{\lnot c}$ $S_c$ $c$ $S_{\lnot c}$ $c$

と仮定します。次に、をサブセットにして、次の3つのステートメントがすべてようにします。 $|S_c| \geq n$ $O$ $S_c$

$O$ は正確にポイントが含まれます。 $n$
このような点は線形独立です。 $n$
このような点は、表される超平面からの最小距離にある点です。より正確には、超平面からの点の距離とする。次に、が1および2を満たすような。言い換えると、は、条件1と2の両方を満たすすべてのサブセットのうち、超平面からの点の距離の合計を最小化するサブセットです。 $n$ $c$ $d( x, c )$ $x \in \{0,1\}^n$ $c$ $\forall B \subseteq S_c$ $B$ $\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$ $O$ $S_c$ $c$

ご質問

が与えられた場合、効率的に計算できますか？ $c$ $O$

それを計算するための最も有名なアルゴリズムはどれですか？

$\$

例 $n = 3$

n = 3の例

$S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$ 、。 $O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$

$\$

2012年12月5日更新

動機

動機は使用することである、最適な制約決定することが可能であるべきである、それが超平面によって定義されるように、の点。 $O$ $c^*$ $n$ $O$

最適な制約は、最適なポリトープつながるものです。 $c^*$ $P^*$

最適なポリトープは、頂点がすべてであり、初期ポリトープ整数頂点のみであるものです（整数頂点は、座標がすべて整数である頂点です）。 $P^*$ $P$

最適な処方

このプロセスは、0-1インスタンス各制約に対して繰り返され、そのたびにを対応する最適な制約置き換え。最後に、これは最適なポリトープにつながります。次に、頂点はすべて初期ポリトープの整数頂点のみであるため、任意のアルゴリズムを使用して最適な整数解を計算できます。効率的に計算できるということは、を意味することを知っていますが、次の追加の疑問がまだ残っています。 $c$ $LP$ $I$ $c$ $c^*$ $P^*$ $I$ $P^*$ $P$ $I$ $LP$ $P^*$ $P = NP$

追加の質問

これらの線に沿って以前の仕事はありますか？ポリトープ、その対応する最適なポリトープ与えられた場合、だれかがコンピューティングのタスクをすでに調査しましたか？それを行うための最も有名なアルゴリズムはどれですか？ $P$ $P^*$

— ジョルジオ・カメラニ
ソース

これは、サブセットの合計から削減することにより、正確に行うのはNP困難です。バイナリ整数

与えられ、

に加算されるサブセットがあるかどうかをテストするために、超平面

点があるかどうかをテストできます。近似に興味がありますか？

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\dots,v_n$

s

$s$

v_{1} x_{1} + \dots + v_{1} x_{n} = s

$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— コリンマッキーラン

@ColinMcQuillan：質問は正確な解決を目的としていましたが、近似にも興味があります。あなたのコメントを答えに変えてみませんか？

— ジョルジオカメラニ

@ColinMcQuillan：また、超平面は等式を使用して定義されますが、私は不等式を使用して定義されます。これは硬さの点で違いがないと確信していますか？私はまだそれをチェックしなかったので、私はただ尋ねています。

— ジョルジオカメラニ

すべての制限について少し混乱しています。

凸包についての情報を探している場合、0-1ナップザックポリトープに関するオペレーションズリサーチの文献には多くの結果があります。近似式については、こちらをご覧ください。

O

$O$

S_{c}

$S_c$

— オースティンブキャナン

回答:

これは、サブセットの合計から削減することにより、正確に行うのはNP困難です。を計算する効率的な手順があるとします。バイナリでエンコードされた正の整数与えられた場合、合計するサブセットがあるかどうかをテストしたいと思います。より大きい整数をすべて破棄して前処理します。 $O$ $v_1,\dots,v_n$ $s$ $s$

小さなセット得るためにプロシージャをコール満たす点、あなたの極小の条件を満足する（前処理性を保証）。このセットには、超平面上の点が含まれます（場合）。 $O$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$ $|S_c|\geq n$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— コリン・マッキーラン
ソース

あなたが言うとき）1：たぶん、私はここで、巨視的に何かを望むんだけど、私は2つの質問を持っている「考えるバイナリ整数」あなたは何を意味するか、バイナリ？

は

属します。たぶん、バイナリでエンコードされているということですか？または多分あなたは肯定的な言いたいですか？2）

より大きい整数をすべて捨てるのはなぜですか？彼らは解決に貢献するかもしれません。例：

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

R

$\mathbb{R}$

s

$s$

、あなたが捨てた場合

あなたが唯一の解決策失う

。

v_{1} = - 3, v_{2} = 7, v_{3} = - 5, s = 2

$v_1 = -3, v_2 = 7, v_3 = -5, s = 2$

v_{2}

$v_2$

{v_{2}, v_{3}}

$\{v_2, v_3\}$

— ジョルジオカメラニ

私はコリン手段があることは何だと思いあれば、制約係数が

合理的な数値である、彼らの通常のバイナリ表現で、その後、あなたの問題はNP困難に表示されます。（実数とNP硬度の混合は常に

a_{i}

$a_i$

— 注意が必要

@GiorgioCamerani：私は肯定的に言う必要がありました-私は答えを更新しました。

— コリンマッキーラン

あなたはIPの凸包に到達しようとしているように思えます-本質的にこれはカットアルゴリズムが達成しようとするものです。理論的に魅力的なこれらの方法は、実際には不十分です。

有効な不等式の生成に関するすべての理論があります。良い出発点は、整数プログラミングのシュライバーの本理論です。

— AJ学生
ソース