理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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NP完全問題との毎日の出会い
マークドミナスはのいくつかの例を収集多項式時間の削減から、「正規表現」のマッチングに様々なNP困難な問題を。多項式時間検証の構想は大きな飛躍ではありません。 Deolalikarの論文に対する最近の騒ぎを理解したかった他の分野の大学生や友人に、NP完全クラスをどのように説明しますか?

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計算の複雑さで硬度が跳ね上がりますか?
最小帯域幅の問題は、任意の2つの隣接ノード間の最大距離を最小化する整数線上のグラフノードの順序を見つけることです。最大で長さのエッジ互いに素な経路を成長させることにより、メインパスから形成されたツリーである-caterpillar(そのノードから髪の長さと呼ばれます)。最小帯域幅の問題は、2毛虫の場合はますが、3毛虫の場合は完全です。k k P N PkkkkkkkkkPPPNPNPNP ここに非常に興味深い事実があります。最小帯域幅の問題は、1毛虫の多項式時間で解くことができます(毛の長さは最大で1)が、周期1毛虫の場合は完全です(循環毛虫では、端点を接続するために1つのエッジが追加されます)メインパスの)。したがって、エッジを1つだけ追加すると、完全な問題になります。N PNPNPNPNPNPNP 入力インスタンスのわずかな変動が、多項式時間の可解性から完全性への複雑さのジャンプを引き起こす問題の硬度ジャンプの最も顕著な例は何ですか?NPNPNP

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計算の複雑さにおける最も重要な新しい論文
計算の複雑さの分野(チューリング、クック、カープ、ハートマニス、ラズボロフなど)の古典的な研究や出版物についてよく耳にします。最近発表された、重要で必読の論文があるかどうか疑問に思っていました。最近では、過去5/10年ということです。

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停止を決定可能にするチューリングマシンの制限
有限テープへの1つの制限しチューリング機械(すなわち、有界空間を使用する場合は)、その後、停止問題は、本質的にあるため、状態数から計算することができるステップ数(後に、決定可能であるQ、およびS、およびアルファベットサイズ)、構成を繰り返す必要があります。SSSQQQSSS 停止を決定可能にするその他の自然なチューリングマシンの制限はありますか? 状態遷移グラフにループやサイクルがない場合は、確実に停止を決定できます。他のもの?

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Pで最も難しい既知の自然問題?
私は(現時点では)最も多くの何であるか、不思議ように、自然の問題は、次のプロパティで知られています:kkk アンアルゴリズムは、すでに問題のために発見されました。O(nk)O(nk)O(n^k) 固定の場合、同じ問題に対するアルゴリズムは知られていません。(より高速なアルゴリズム存在するがある注意してください。まだ知られていないため、実証済みの下限を探していません。)ϵ>0ϵ>0\epsilon>0O(nk−ϵ)O(nk−ϵ)O(n^{k-\epsilon})maymaymay 問題の説明自体は依存しません。(この条件は、「定数について、入力グラフでサイズクリークを見つける」などのパラメータ化されたケースを除外するために必要です。)kkkkkkkkk ある意味で、このような問題は、で最も困難な既知の自然な問題とれる可能性があります(最速の既知のアルゴリズムの指数に関して)。PP\bf P

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不均一性の不合理な力
常識的な観点から、非決定性を追加すると、その能力が大幅に拡大する、つまりがよりもはるかに大きい と考えるのは簡単です。結局、非決定性は指数並列性を可能にしますが、これは間違いなく非常に強力に見えます。 N P PPP\mathsf{P}N PNP\mathsf{NP}PP\mathsf{P} 一方、に不均一性を追加して取得する 場合、直観はあまり明確ではありません(発生する可能性のある非再帰言語を除外すると仮定します))。入力長が異なるだけで異なる多項式時間アルゴリズムを許可する(ただし、再帰領域を残さない)ことは、非決定性の指数並列処理よりも強力ではない拡張機能であると期待できます。P / p o l y P / p o l yPP\mathsf{P}P / p o l yP/poly\mathsf{P}/polyP / polyP/poly\mathsf{P}/poly 興味深いことに、これらのクラスを非常に大きなクラスと比較すると、次の直観に反する状況が見られます。は適切に含まれていることがわかっていますが、これは驚くことではありません。(結局、は二重の指数関数的並列処理を許可します。)一方、現在のところ除外することはできません。N E X PN E X PNEXP\mathsf{NEXP}N E X PNEXP\mathsf{NEXP} N E X PN PNP\mathsf{NP}N E X PNEXP\mathsf{NEXP}N E X P ⊆ P / …

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3色のNP硬さの参照?
歴史的な質問があります。 Iグラフ(あるいは、3-着色性という事実のための基準を決定しようとしている所与のため-colourability K ≥ 3)NP困難であるが。kkkK ≥ 3k≥3k\geq 3 魅力的な答えは「Karpのオリジナルペーパー」ですが、それは間違っています。ここにスキャンがあります:組み合わせ問題間の還元可能性、Karp(1972)。これは、色数(入力:グラフ。出力:)が難しいことを証明しています。これはより難しい問題であり、3彩色性の硬さを暗示する標準のガジェット構造(True、False、およびGroundの3色)とは異なります。χ (G )χ(G)\chi(G) Garey and JohnsonのComputers and intractabilityは、[GT4]として彩色性を持ち、Karp(1972)を参照します。kkk

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「スティーブのクラス」:SCの起源
名前はSteve Cook、名前はNick Pippengerであることを「知っています」。間違っていなければ、Steve CookはNick Pippengerに敬意を表してNCの名前を付けました。逆も同様であると言われました。ただし、DCFLに関するスティーブクックの論文または\ mathsf {RL} \ subseteq \ mathsf {SC}である Nisanの証拠のどちらにも、この後者の事実の証拠を見つけることができませんでした。N C R L ⊆ S CSCSC\mathsf{SC}NCNC\mathsf{NC}R L ⊆ S CRL⊆SC\mathsf{RL} \subseteq \mathsf{SC} 後者の主張の文書化された証拠はありますか、またはこれは単に「空中に」ありますか? ps私はスティグラーの法則の例を参照していて、私が「スティグラーの相互関係」と呼ぶものについて疑問に思っていたので、私は尋ねています。この例は、カルタンマトリックスとキリングフォームです。

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理論計算機科学の代数指向ブランチ
私は代数の非常に強い基盤を持っています、すなわち 可換代数、 ホモロジー代数、 場の理論、 カテゴリー理論、 現在、代数幾何学を学んでいます。 私は数学の専攻で、理論的なコンピューターサイエンスに移行する傾向があります。上記のフィールドを念頭に置いて、どのフィールドが理論的なコンピューターサイエンスの最も適切なフィールドに切り替えられるでしょうか?つまり、上記の分野を追求することによって得られた理論と数学的成熟度は、どの分野で有利に使用できますか?

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ブール複雑度へのコホモロジーアプローチ
数年前、(論文を参照してくださいグロタンディークのコホモロジーに下部回路境界を関係ジョエル・フリードマンによっていくつかの作業があった:http://arxiv.org/abs/cs/0512008、http://arxiv.org/abs/cs/0604024)。この考え方は、ブールの複雑さに関する新しい洞察をもたらしましたか、それともむしろ数学的な好奇心のままですか?

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最大公約数の複雑さ(gcd)
次のカウント問題(または関連する決定問題)を検討してください。バイナリでエンコードされた2つの正の整数が与えられた場合、それらの最大公約数(gcd)を計算します。この問題が含まれる最小の複雑度クラスは何ですか?参照を提供できますか? この質問では、主に実行時間の漸近的な境界ではなく、複雑さのクラスに興味があります。ACに問題はありますか?AC0にないことが証明できますか?ここで関連するP内の他の複雑度クラスとは何ですか?

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NTIME(n ^ k)≠DTIME(n ^ k)?
「決定論対非決定論と関連問題」(Proc。IEEE FOCS、429〜438、1983年)で、Paul、Pippenger、Szemerédi、Trotterは、 NTIME(n)≠DTIME(n)NTIME(n)≠DTIME(n)\mathsf{NTIME}(n)\neq\mathsf{DTIME}(n)。 これは私の質問にk = 1で答えます。別の固定kの同様の結果について何か知られていますか?

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型クラスとオブジェクトインターフェイス
型クラスを理解しているとは思わない。私はどこかで、型が実装する「インターフェース」(OOから)として型クラスを考えることは間違っており、誤解を招くものだと読みました。問題は、それらを異なるものとみなし、それがどのように間違っているかを見るのに問題があることです。 たとえば、(Haskell構文の)型クラスがある場合 class Functor f where fmap :: (a -> b) -> f a -> f b これはインターフェース[1](Java構文)とどのように違いますか interface Functor<A> { <B> Functor<B> fmap(Function<B, A> fn) } interface Function<Return, Argument> { Return apply(Argument arg); } 考えられる違いの1つは、特定の呼び出しで使用される型クラスの実装が指定されず、環境から決定されることです。たとえば、この型の実装で使用可能なモジュールを調べます。これは、OO言語で対処できる実装アーティファクトのようです。コンパイラー(またはランタイム)が、タイプに必要なインターフェースを公開するラッパー/エクステンダー/モンキーパッチャーをスキャンできるように。 私は何が欠けていますか? [1] オブジェクト指向言語であるため、f a引数が削除されていることに注意してくださいfmap。オブジェクトでこのメソッドを呼び出すことになります。このインターフェイスは、f a引数が修正されていることを前提としています。

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多項式階層のレベルのインタラクティブな証明
PSPACEマシンをお持ちの場合は、多項式階層のあらゆるレベルのインタラクティブな証明を提供するのに十分強力であることがわかります。(そして、私が正しいことを覚えていれば、必要なのは#Pだけです。)ただし、言語でメンバーシップのインタラクティブな証明を提供したいとします。問題を解決できれば十分ですか?問題の解決は適切ですか?より一般的には、あなたが解決することができればまたは何のための問題、これは、すべてのlanguatesでの対話証明生成するのに十分である?Σ2Σ2\Sigma_2Σ 5 Σ K Π K Σ ℓ ΣのℓΣ2Σ2\Sigma_2Σ5Σ5\Sigma_5ΣkΣk\Sigma_kΠkΠk\Pi_kΣℓΣℓ\Sigma_\ellΣℓΣℓ\Sigma_\ell この質問は、このcstheory stackexchange質問に触発されました。

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情報量はどのくらいですか?
この質問は、コンピューターサイエンスに関するPCAST​​プレゼンテーションの後、Jeannette Wingに尋ねられました。 「物理学の観点から、私たちが持つことのできる情報の最大量はありますか?」(理論とは何ですか?」 「情報とは」を超えて この文脈で「ボリューム」が何を意味するのかを理解する必要がありますか?おそらく、情報の最大密度はより良い尺度です。

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