理論計算機科学の代数指向ブランチ

私は代数の非常に強い基盤を持っています、すなわち

• 可換代数、
• ホモロジー代数、
• 場の理論、
• カテゴリー理論、

現在、代数幾何学を学んでいます。

私は数学の専攻で、理論的なコンピューターサイエンスに移行する傾向があります。上記のフィールドを念頭に置いて、どのフィールドが理論的なコンピューターサイエンスの最も適切なフィールドに切り替えられるでしょうか？つまり、上記の分野を追求することによって得られた理論と数学的成熟度は、どの分野で有利に使用できますか？

型システムをホモトピー型に関連させる依存型理論の最近の開発がありました。

現在、これは比較的小さな分野ですが、現在行われている多くの刺激的な作業があり、潜在的に代数トポロジーとホモロジー代数からの結果を移植し、より高い帰納的型の概念を形式化することで、潜在的に多くの低い成果があります。

代数幾何学は、代数的複雑性理論、特に幾何学的複雑性理論で頻繁に使用されます。後者の場合、表現理論も重要ですが、代数幾何学やホモロジー代数と組み合わせるとさらに有用になります。

フィールド理論の知識は暗号化に役立ちますが、カテゴリ理論はプログラミング言語とタイピングシステムの研究で頻繁に使用されます。どちらも数学の基礎に密接に関連しています。

場の理論と代数幾何学は、古典的な設定とローカルでデコード可能なコードの研究とリストのデコードの両方で、エラー修正コードに関連するトピックで役立ちます。これは、リードソロモンとリードミュラーのコードに戻ったと思います。リードコードは、代数幾何コードに一般化されました。たとえば、代数幾何学コードの古典的なコーディング理論の見方に関するこの本の章、ローカルでデコード可能なコードに関するこの簡単な調査、およびリードソロモンのリストデコーディングに関するより有名な論文、より一般的には代数幾何学コードを参照してください。

計算学習理論、機械学習、コンピュータービジョンには、可換代数と代数幾何学を使用して解決できる問題がいくつかあります。たとえば、Bayesian推論のメッセージパッシングアルゴリズムであるBelief Propagationアルゴリズムの収束は、アフィン多項式系の多様性を特徴付ける観点から定式化できます。

コンピューター代数を検討することを考えましたか？公理は、型システムがカテゴリ理論（またはビューに応じてユニバーサル代数）に基づいてモデル化されるコンピューター代数システムです。Axiom FriCASおよびOpenAxiomにはさらに2つの派生物があります。

カテゴリ理論に興味がある場合は、型システムを確認する必要があります。

Axiomでは、すべての「アイテム」（「1」、「5 * x ** 2 + 1」など）はドメインの要素です。「ドメイン」は、特定のカテゴリーのメンバーであると宣言されたAxiomオブジェクトです（Integer、Polynomial（Integer）。Axiomカテゴリーは、識別シンボル「Category」のメンバーであると宣言されたAxiomオブジェクトです（R、E、V））。

カテゴリ間の多重継承には、継承ラティスがあります。たとえば、カテゴリMonadはSetCategoryから継承し、MonadはMonadから、GroupはMonoidからなどに継承します。

また、JavaのGenericsに少し似た高次のポリモーフィズムがあります。

Axiom内のいくつかのアクションは、ファンクターと見なすことができますが、ここで説明するのはかなり大変です！

典型的なエンドユーザーとしてカテゴリー理論を気にせずにAxiomを使用したいだけなら、シンボリック計算システムは個々の代数を調べるのにぴったりのソフトウェアです。

$L \subseteq X^{\ast}$

次の人は正規言語の場合には、この代数的ビューを使用している：オートマトン理論上のサミュエル・アイレンベルグ、ジャンBerstel、ジャン-エリック・ピン、マルセルSchützenbergとクルーン-ロードス理論を。

また、Cerny予想の作業に関与する非自明な代数があり、そのほとんどは非常に組み合わせ的です。しかし、最近では、線形代数、リング理論、表現理論でより多くの成果を上げており、Benjamin SteinbergとJorge Almeidaを研究しています。

ちなみに、これらの分野ではセミグループ理論、モノイド理論、グループ理論を使用してかなり良い結果を得ることができますが、この分野ではカテゴリ理論とホモトピー理論はあまり使用されません。しかし、S。アイレンバーグは、オートマタ理論に関与する前であったにもかかわらず、カテゴリー理論の創始者の一人であったことに注意するのは興味深いかもしれません。

Brent Yorgeyの論文は、まだ草案に過ぎませんが、あなたの興味がTCSに関連する理由を説明する上で素晴らしい仕事をしています。

ここでJoyalの話に関連する材料にこの過去の4月は。

業界を検討したかどうかはわかりませんが、Ayasdi社は、データサイエンス内で多くのホモトピーおよびその他の応用トポロジカル手法を適用して驚くべき仕事をしています。彼らは多くの理論とアプリケーションを融合しています。基本的に、彼らが何をしているのかを知るには、スタンフォード・コンプトップのウェブサイトを見てください。（大部分の人々はそこから来ました）。

他の皆が言ったことに加えて（これらのブランチの最大のアプリケーションは確かに型システムにあると思います）：

• 一般に、格子理論と半順序は、分散システムの動作の分析、およびコンパイラーのデータフロー分析にかなり適用されます。
• また、機械学習に適用されるガロア接続を見ました（特にテキスト分類：アルゴリズムを劇的に高速化できる2部文書/単語グラフの左右の頂点のサブセット間のガロア接続）。

代数と理論計算機科学の間の関係は非常に強力です。Nic Doyeは既にコンピューター代数について言及しましたが、コンピューター代数の本質的な部分である書き換えシステムの理論を明示的に含めておらず、自動方程式解決と自動推論のアプリケーションを使用していました。文字列書き換えシステムは重要なサブエリアであり、計算グループ理論に適用されます。たとえば、Ronald BookとFriedrich Ottoによる本「String Rewriting Systems」を確認してください。

また、グラフ理論と代数の間には関連性があります。これには、例えば、グラフと複雑なネットワークのよく発達したスペクトル理論、およびグラフ対称性の理論（Cayley graps、頂点推移グラフ、および他のタイプの対称グラフも含まれます） 、並列コンピュータの相互接続ネットワークのモデルとして頻繁に使用されています）。さまざまなトピックの概要については、Chris GodsilとGordon Royleの著書「Algebraic Graph Theory」を参照してください。

コンピュータービジョンの状況を確認してください。特にアルゴリズムタイプのトピックが多数あります。最初の3つの分野は非常に役立ちます。