情報量はどのくらいですか？

この質問は、コンピューターサイエンスに関するPCAST​​プレゼンテーションの後、Jeannette Wingに尋ねられました。

「物理学の観点から、私たちが持つことのできる情報の最大量はありますか？」（理論とは何ですか？」

「情報とは」を超えて この文脈で「ボリューム」が何を意味するのかを理解する必要がありますか？おそらく、情報の最大密度はより良い尺度です。

ランス、実際にはこれに限界を与える定理があります。Margolus-Levitin定理は、エネルギー密度の観点で計算速度を境界。プレイできる素敵なトリックがあります：ローカルエネルギー密度が特定の制限を超えると、ブラックホールが形成されてイベントホライズンが発生し、その結果、時空のその領域を残りの宇宙。Seth Lloydには、このトリックを使用して宇宙の計算能力を推定する素晴らしい論文があります（Phys。Rev. Lett。88、237901（2002）、arXiv）。

もちろん、時空の任意の有限領域で同様の推論を使用できます。

彼女の記事のそのコメントは、彼女がどのような答えを期待しているのかについて多くの文脈を与えていません。しかし確かに、これはすでに多くの人がすでに知っている有名で由緒ある質問です。ホログラフィック原理に関するウィキペディアのページ概要がわかりやすい。ホログラフィックの原理に関する最も直感に反することは、領域の情報容量はその表面積に比例する必要があるということです。そこに何個の小さな2状態デバイスを詰め込めるかという観点から情報容量を考えると、内部のボリュームが制限要因になると予想されます。その直感はある時点までは当てはまりますが、最終的には、質量のエネルギーの集中は、量子小型化の問題を別として、ブラックホールが形成されるほど大きくなります。大まかに言えば、少しの次元分析と、重力が逆二乗の法則であるという事実により、ここで関連する量は半径の2乗（表面積に比例）です。

これは興味深く、やや面白い質問ですが、現在の形式では定式化されていません。

スコアリングが問題の元の難易度と基本的/固有の「ソフト」な曖昧性を念頭に置き、現在の文献の知識に基づいていくつかの可能な方法がありますが、間違いなく「正しい答え」 「。

主な質問は「コンピューターサイエンスにおける物理学の類推」であり、そのボリュームの1つがその1つです。したがって、それはこの他の質問と非常に関係があり ます。

この質問に答えるために、いくつかの異なるアプローチを取りますが、それらはすべてメリットがあると思います。

この場合、厳密に解釈すると、ボリュームの単位は「スペース」または「長さの3乗」です。（物理学では注意が必要な場合もありますが、「空間」という用語は長さまたは3乗の長さで測定されることがあります。）

したがって、アルゴリズムでは、空間階層の研究は「ボリューム」の研究に類似していると主張できます。空間アルゴリズムは、長さが入力サイズで表現される場合、「長さは立方」ユニットを有することも思われます。$O(n^3)$

これに伴う問題は、アルゴリズムでアルゴリズムが単なる不自然な制限であるということです。ある意味で、TCSは空間階層定理で見られるように「多次元空間連続体」を考慮しました。$O(n^3)$

これを物理に引き継ぐと、3次元空間以外を考慮するのは不合理に思えるかもしれませんが、もちろん、高度な物理は、c次元ヒルベルト[ベクトル]空間を介して、あらゆる種類の高次元空間領域を常に考慮します。したがって、ある意味で、空間アルゴリズムはc次元ヒルベルト空間で動作すると解釈できるように思われます。以下のように思えるmulmuleys GCTプログラムはこれの初演例だろう。$O(n^c)$

他の質問で説明したように、TCSの体積の類似性（およびその他の物理量）に対する別のアプローチは次のとおりです。SATには、物理​​/熱力学の遷移点に非常に類似した遷移点があることが知られています。これは、例えば、ある相から別の相への理想的な気体、例えば気体から液体へと起こります。これは、（ガスの容器のような）体積の減少の下で起こります。ランダム入力のSATでは、入力サイズの主な2つのパラメーターは句と変数です。（別のパラメーターは節内の変数の数ですが、3-SATの場合は多くの場合3に固定されます。）

節または変数のいずれかを調整し、他を固定したままにすると、簡単に難しい簡単な移行ポイントを通じて問題の難易度が上がります。したがって、これらのパラメーターはボリュームに何らかの形で類似しているように見えますが、詳細はマップされていません。SATの統計物理学に関する深い論文のいくつかを掘り下げると、Volumeの類似性が判明する可能性があります。SATの統計物理学用語への基本的なマッピングについては、[5]を参照してください。

[5]ランダム充足可能性問題の解析的およびアルゴリズム的ソリューション、Mezard、パリシ、ゼチナ
http://dynamics.org/Altenberg/UH_ICS/EC_REFS/K-SAT/Mezard.Science.297_812.pdf

もう1つのアプローチは、ブラックホールにつながる物理空間の高密度情報処理について話している以前の応答に関連している可能性があります。時間、空間、質量などの単位を持つPlanck制限を使用します。そのウィキペディアのページで定義されているプランク長ユニットがあります。この表の単位を参照してください。$l_p$

プランクの長さの正確な物理的解釈（おそらく物理学研究の活発な分野）はわかりませんが、何らかの意味で「可能な限り短い空間」と解釈できると思います。つまり、は、可能な限り最小の物理ビットのサイズです。ビットが単位「長さ」の次元を持っているように見えるコンピューター科学とは対照的に、物理学では、実際には最小ビットが実際にボリューム（つまり、単位長さの3乗）を持たなければならないという類推の興味深い不連続性です。$l_p^3$