多項式階層のレベルのインタラクティブな証明

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PSPACEマシンをお持ちの場合は、多項式階層のあらゆるレベルのインタラクティブな証明を提供するのに十分強力であることがわかります。（そして、私が正しいことを覚えていれば、必要なのは#Pだけです。）ただし、言語でメンバーシップのインタラクティブな証明を提供したいとします。問題を解決できれば十分ですか？問題の解決は適切ですか？より一般的には、あなたが解決することができればまたは何のための問題、これは、すべてのlanguatesでの対話証明生成するのに十分である？ $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

この質問は、このcstheory stackexchange質問に触発されました。

cc.complexity-theory interactive-proofs

— ピーター・ショー
ソース

単一の証明者の場合にのみ興味がありますか、それとも複数の証明者の場合に興味がありますか？これを攻撃する明白な方法は、2人の証明者にとっては簡単かもしれないが、おそらく1人の証明者にとってはうまくいかないPCPを介した攻撃であるように思えます。

— ジョーフィッツシモンズ

1

両方のケースに興味があります。私はかなり長い間、単一の証明者に対するこの質問について疑問に思っていましたが、複数の証明者についてはまったく考えていませんでした。

— ピーターショー

4

@Peter：IP = PSPACEの論文を見ると、QBFではなく（これは完全です）を使用して証明することができるようです。の算術化から生じる多項式恒等式。何か不足していますか？

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— ジョーフィッツシモンズ

1

@ジョー、私はその考えを考慮していません。うまくいくかもしれません。

— ピーターショー

2

ジョーは、多分あなたは答えとしてそれを投稿する必要があり

— スレシュヴェンカト

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現在の手法を使用してcoNPにIPを提供する場合でも、算術演算、つまりカウントを使用する必要があります。これは、本質的に#Pのフルパワーを意味します。coNPでさえも弱い証明者は非常に興味深いと思います（特に、新しい非相対化手法を暗示します）。

— ノーム
ソース

@ピーター：ノームは正しい。ここから次の行を引用します：...ブラックボックス削減によるNPの最悪の硬度に基づく耐衝突性ハッシュは、BPP ^ NPの証明者とのco-NPのインタラクティブな証明システムを意味します... （でもマルチ証明）CO-NPの証明のシステムは... #Pの複雑さを証明器を必要とする

— MS Dousti

その場合、私の答えはナンセンスです。これを指摘してくれてありがとう。

— ジョーフィッツシモンズ

実際、Graphの非同型写像のインタラクティブな証明には、その問題に対するオラクルの証明者が必要なだけなので、これは非常に興味深いものです。GIが非常に弱い（Pのように）か、多項式階層のレベルのインタラクティブな証明の境界が非常に緩やかである可能性が高い証拠のように感じます。

— ジョーフィッツシモンズ

1

複数の証明者が助けになるとは知られていないと思います。これは正しいです？

— ピーターショー

1

こうしてクラスAMでそれを入れ、一定ラウンド公衆コイン証拠があるグラフ非同型の証明を@Joe（広くNPと等しいと考えられ、したがってGIとGNIはであると考えられている

）。これは、coNP完全問題のメンバーシップを証明するために必要と考えられる多項式ラウンド証明よりもはるかに低いです。

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— ボアズバラク

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これは既知の（素晴らしい）未解決の問題であり、私は時々成功せずに取り組んできました。

Avi Wigdersonと私は、代数化論文で問題について言及しました。そこで、coNP⊆IP _NPなどの封じ込めが代数化技術によって証明できるかどうかという問題を提起しました。（ここでIP _NPは、BPP検証者とBPP ^NP証明者を含むIPを示します。）（私が推測するように）答えがノーの場合、それは、ピーターが要求するような対話プロトコルが非相対化を必要とする正式な理由を提供しますIP = PSPACEに使用される手法を「基本的に超える」手法。

同様の質問は、BQP = IP _BQPであるかどうかです。ここで、IP _BQPは、BPP検証者とBQP（量子多項式時間）証明者を持つIPを意味します。ブロードベント、フィッツシモンズ、およびカシェフィによる最近のブレークスルーは、密接に関連する声明が真実であることを示しましたが、その質問も開かれています。

— スコットアーロンソン
ソース

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はい、coNPには、証明者が#P（NPオラクルにアクセスできるポリタイムなど）よりも弱いインタラクティブな証明があるかどうかという問題は、よく知られている未解決の問題です。次のHaitner、Mahmoody、Xiaoの最近の論文はこの問題を議論し、これができないという仮定の結果を示しています。

— ボアズ・バラク
ソース

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Sureshが私のコメントを回答として投稿することを提案しているので、そうします。しかし、これを証明しようとしていないため、これが完全な答えであるとは考えていません。また、行き止まりになることがあります。

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

この問題は、coNPの証明ですでに発生しています。sumcheckプロトコルにはn回のラウンドがあります（変数ごとに1回）。各ラウンドで、証明者は、指数関数的に大きな合計によって得られる多項式の係数を見つける必要があります。#Pよりも少ない電力でそれを行う方法がわかりません。

— ボアズバラク

@Boaz：はい、このアプローチは失敗する運命にあると思います。多項式が0と1の入力に対して値1または0のみをとるように、どこかで行われたバージョンの算術を見たと思った。この場合、対応する決定問題にオラクルを使用できるようです。再び、私はそれを想像したかもしれません！

— ジョーフィッツシモンズ