計算の複雑さで硬度が跳ね上がりますか？

最小帯域幅の問題は、任意の2つの隣接ノード間の最大距離を最小化する整数線上のグラフノードの順序を見つけることです。最大で長さのエッジ互いに素な経路を成長させることにより、メインパスから形成されたツリーである-caterpillar（そのノードから髪の長さと呼ばれます）。最小帯域幅の問題は、2毛虫の場合はますが、3毛虫の場合は完全です。k k P N $k$$k$$k$$P$$NP$

ここに非常に興味深い事実があります。最小帯域幅の問題は、1毛虫の多項式時間で解くことができます（毛の長さは最大で1）が、周期1毛虫の場合は完全です（循環毛虫では、端点を接続するために1つのエッジが追加されます）メインパスの）。したがって、エッジを1つだけ追加すると、完全な問題になります。N $NP$$NP$

入力インスタンスのわずかな変動が、多項式時間の可解性から完全性への複雑さのジャンプを引き起こす問題の硬度ジャンプの最も顕著な例は何ですか？$NP$

硬度ジャンプのより興味深い応用例の1つは、次の問題で観察できます。

チームのサッカーリーグチャンピオンシップを考えてみましょう：試合中に、特定のチームが（まだ）リーグに勝てるかどうかを決定する問題はPにあります。ドローマッチでポイントします。しかし、勝者チームが3ポイントを獲得するようにルールを変更すると、同じ問題がN $n$$P$$NP$ハードになります。

結果は、いずれにも一般化することができるごとのための-点ルールK > $(0, 1, k)$$k > 2$とものみ残りの3つのラウンドのために。

出典：Ingo Wegenerによる「複雑性理論」（http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319）

これは、質問タイトルで尋ねられた質問に答えますが、質問で尋ねられた質問には答えません。

ジャンプインハードネスの衝撃的な例は、「平面式には法として満足のいく割り当てがいくつあるか？」という質問から生じます。これは＃P-hardであると広く考えられており、nの「ほとんどの」値に対するものですが、nがメルセンヌ整数の場合（たとえば、7は2 3 − 1の形式であるためn = 7）、答えは多項式時間で計算できます。$n$$n$$n$$n=7$$2^3-1$

これは、Valiantの画期的なホログラフィックアルゴリズムの論文で初めて発見されました。

独立セットは（クロス、三角形）フリーグラフではNP完全ですが、（椅子、三角形）フリーグラフでは線形時間で解くことができます。（Xフリーグラフは、誘導サブグラフとしてXからのグラフを含まないグラフです。）

椅子： 三角形： クロス：

クロスは、単一のエッジを追加することで椅子から取得されることに注意してください。

入力に単一のエッジを追加すると、NPが完全に問題になるという特性付けに沿っているかどうかはわかりません。実際、無限に多くの入力インスタンスのすべてにエッジを追加できるからです。

ここに、提案された線に沿った鋭い二分法を示す問題の例を示します。

入力グラフGから固定テンプレートグラフHへのグラフ準同型性があるかどうかを判断する問題は、Hが自己ループを持つグラフまたは2部ループレスグラフである場合、Pにあります。Hが二部でない場合（これは多くの場合、単一のエッジを追加することで達成できます）、問題はNP完全になります。

• P. HellおよびJ.Nešetřil、H彩色の複雑性、 J。Comb 。Th。B 48 92–110、1990。doi：10.1016 / 0095-8956（90）90132-J

ここで重要なのは、2色がPにある（これは3つの頂点のパスである準同型に対応する）一方で、3色はNP完全（これは三角形のK 3に準同型に対応する）です。$P_3$$K_3$

誘導サブグラフ検出で発生した別の興味深い例を次に示します。

シータは、隣接しない頂点を有するグラフで$x,y$、3つのパスの$P_1, P_2, P_3$から$x$へ$y$の任意の2つのパスが3よりも大きい長さを有するサイクルを誘導しました。

ピラミッドの頂点を有するグラフである$x$、三角形$y_1,y_2,y_3$、および経路$P_i$から$x$に$y_i$毎$i=1,2,3$の長さのいずれかで多くても1回のパスでで、。

最後に、プリズム 2つの三角形とのグラフで$x_1,x_2,x_3$及び$y_1,y_2,y_3$、とパス$P_i$から$x_i$に$y_i$それぞれに対する$i=1,2,3$。

図で説明するのは簡単です：

誘導シータとピラミッドを検出するために、多項式時間であることが知られています。（実際、シータの最も知られているアルゴリズムは$O(n^{11})$時間かかり、ピラミッドの場合は$O(n^9)$時間かかります。）しかし、誘導プリズムを検出するためには、問題はNP困難になります。

参考までに、Leveque、Lin、Maffray、Trotignonによる「誘導サブグラフの検出」を参照できます。シータとピラミッドが比較的簡単である理由は、ChudnovskyとSeymourによる「ツリー内の3つの問題」で説明されている「ツリー内の3つの問題」に関連しています。

えーと...あなたはもっとささいな例を探していると確信しています...しかし、私は対3について特別な何かがあることを指摘したいと思います。2 - S A Tから3 - S A T、2 - C O L vs 3 - C O Lなど。直観的には、最大で2つのエッジを持つノードが最大で1つのラインを形成できるため、しかし、3つのエッジを持つノードはツリーを形成できます。2〜3から移動すると、組み合わせ爆発が発生します。$2$$3$$2-SAT$$3-SAT$$2-COL$$3-COL$

インスタンスについて話すことはあまり意味がないと思います。難易度の異なる入力インスタンスの2つの分布について話すことができますが、分布間、または分布内のインスタンス間に関係があると、より興味深いでしょう。

パラメーター化された分布のファミリーを検討し、パラメーターを変更すると何が起こるかについて話すことができます。しきい値現象と呼ばれるものに興味があるかもしれません。「パラメータのわずかな変化の結果として、システムが迅速に定性的に変化する場合」。この調査をご覧ください：Ehud Friedgut、「Hunting for Sharp Thresholds」、Random Structures Algorithms 26、2005。

最も印象的で美しい例の1つは、節密度持つランダムk-SATであり、相転移は本当に驚くべきことだと思います。$\Delta$

ラムダ用語のタイプを推測するとDEXPTIME-完了prenex及びランク2多相型システム（タイプの数量が多くても1つのレベルの深いでネストされている）が、となる決定不能ランク3以上のため。ネストレベルを1つ追加すると、問題が決定不能になる可能性があります。

磁場が0の平面イジングモデルの基底状態を見つけることはPであり、磁場がゼロでない場合はNP困難です。磁場が0の平面イジングモデルのパーティション関数はPであり、磁場がゼロでない場合はNP困難です。

ここに、質問で対処した最小帯域幅のような興味深い複雑なジャンプに関する素晴らしい問題があります。

してみましょうグラフとなるTのスパニングツリーG。エッジに対する迂回 Uは、V ∈ E （Gは）固有のものであるU - 、Vの内のパスT。混雑E ∈ E （T ）、で表されるC N G G 、T（E ）含有迂回の数であるeは。混雑GにおいてTで示さ、C N G$G$$T$$G$$uv\in E(G)$$u$$v$$T$$e \in E(T)$$\mathrm{cng}_{G,T}(e)$$e$$G$$T$は、 Tのすべてのエッジにわたる最大輻輳です。スパニングツリー混雑 Gで示さ、 S T C（Gは）、のすべてのスパニングツリー上最小輻輳である G。Spanning Tree Congestion問題は、与えられたグラフが与えられた k以下でスパニングツリー輻輳を持っているかどうかを尋ねます。$\mathrm{cng}_G(T)$$T$$G$$\mathrm{stc}(G)$$G$$k$

次の複雑さのジャンプが示されています：Bodlaender et al。、 Parameterized Complexity of the Spanning Tree Congestion Problem、Algorithmica 64（2012）85–111：

固定されたおよびdごとに、最大dの次数のグラフの線形時間で問題を解くことができます。我々は許可した場合は対照的に、唯一の無限度の頂点を、問題がすぐになっN Pの任意の固定用-complete K ≥ 8。$k$$d$$d$$\mathsf{NP}$$k\ge 8$

なぜ誰もこれに言及していないのだろうか：

ホーン土vs K土

誰もがそれが何であるか知っていると思います。そうでない場合：

Horn-Satは、一連のホーン句が充足可能かどうかを調べることです（各句には最大で1つの正のリテラルがあります）。

K-Satは、句のセットが充足可能かどうかを検出します（各句に複数の正のリテラルを含めることができます）。

したがって、各句に複数の正のリテラルを許可すると、P-complete NP-completeから問題が発生します。

グラフの色付け

別の回答で述べたように、2-COLは多項式時間で解くことができ、3-COLはNP完全です。しかし、色の数を増やすと、ある（不明な）ポイントの後、問題が簡単になります！

たとえば、N個の頂点とN個の色がある場合、各頂点に異なる色を割り当てることで問題を解決できます。

同様に、永続的vs決定的です。

ハイパーグラフパーティショニングに関する論文を読みました。問題はこれとして定義されています、引用：

二つのパラメータ所与及びL、1 ≤ L < K、問題[ PのL個のkがみましょう。以下のように定義されるHを = （V 、Eは）ハイパーグラフとすることが、T 1、... 、T Kような非負整数でありますその| V | = n = ∑ k i = 1 t iおよび| E | = $k$$l$$1 \leq l < k$$P^l_k$$\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$$t_1, \dots, t_k$$|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$$|\mathcal{E}| = m$。着色（パーティション）が存在しないにk個のサイズのサブセットT 1、... 、T kは各hyperedgeの頂点のようにEがせいぜいで着色されたL個の色？$V$$k$$t_1, \dots, t_k$$\mathcal{E}$$l$

一般的に、次のことが証明されています。

• （多項式時間で解けるで nは、m個の固定用）、K ≥ $P^1_k$$n,m$$k \geq 2$
• すべての固定のためにNP完全である 2 ≤ L < $P^l_k$$2 \leq l < k$

これが十分に「ジャンプ」していない場合は、読み進めてください。互いに素なハイパーエッジを持つハイパーグラフの場合、次のように表示されます。

• すべての固定のためにNP完全である K ≥ $P^1_k$$k \geq 2$
• （線形時間で可解である m個の固定用） 2 ≤ L < $P^l_k$$m$$2 \leq l < k$

ローラン・リオデ 2010.ハイパーグラフパーティショニングのNPハードおよび線形バリアント。理論。計算。科学 411、1（2010年1月）、10-21。http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

ジョブショップのスケジューリングの問題で興味深い複雑なジャンプが知られています。

ジョブショップの問題では、m台のマシンの特定のセットMで処理する必要があるジョブのセットがあります。各ジョブjはの鎖からなるμ j個の操作O 1 、J、O 2 J、... 、O μ J J。操作O 私jは中に処理されなければならないのp I jは、マシン上で中断することなく時間単位メートルI J ∈ $n$$M$$m$$j$$\mu_j$$O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$$O_{ij}$$p_{ij}$$m_{ij}\in M$。実行可能なスケジュールとは、先行するすべての操作が完了した後にのみ操作がスケジュールされ、各マシンが一度に最大1つの操作を処理するものです。任意のスケジュールで、をジョブjの最後の操作の完了時間とします。ここで撮影。$C_j$$j$

メイクスパンおよび合計完了時間∑ C jを最小化するなどの目的があります。定期的な基準はここで定義されます。$C_{max}=max_jC_j$$\sum C_j$

$J||\gamma$$\gamma$

$J2|n=k|F$$J|n=2|F$$J2$ $(n=k)$$2$ $(k)$$F$

$J3|n=3|C_{max}$$J3|n=3|\sum C$

$J2||C_{max}$$J2||\sum C$

したがって、ここでは、2つのジョブ/マシンから3つのジョブ/マシンに移動するとジャンプすることがわかります。

$\ln n$$(1-o(1))\ln n$

$2^n$$2^n$$(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$$p_b(a)$$a=b=1$$2^n=p_1(1)$$DTIME(2^n)$$(k<n)$$P=NP=DTIME(2^n)$$P=NP$