タグ付けされた質問 「pde」

LET 多角形でリプシッツ領域有界凸状R 2せ、fは∈ L 2（Ω ）。ΩΩ\OmegaR2R2\mathbb R^2f∈L2(Ω)f∈L2(Ω)f \in L^2(\Omega) Δu=fΔu=f\Delta u = fΩΩ\Omegatraceu=0trace⁡u=0\operatorname{trace} u = 0∂Ω∂Ω\partial\OmegaH2H2H^2CCC∥u∥H2≤C∥f∥L2‖u‖H2≤C‖f‖L2\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2} いくつかの有限要素近似場合、たとえば、均一なグリッド上の節点要素を使用すると、誤差推定が得られます。uhuhu_h ∥u−uh∥H1≤Ch∥u∥H2‖u−uh‖H1≤Ch‖u‖H2\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2} 人々は通常、明白なエラー推定値を使用しないようです（おそらく私はそれで間違っています） ∥u−uh∥H1≤Ch∥f∥L2‖u−uh‖H1≤Ch‖f‖L2\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2} これは、上記の2つの不等式の組み合わせで取得できます。代わりに、事後誤差推定器はさまざまな形式で開発されます。上記の方程式に対して私が想像できる唯一の異論は、定数が実際には悲観的すぎるか、信頼性の高い推定ができない場合があることです。CCC

10 pde  finite-element  error-estimation 

多くのPDEを数値的に解きますが、応用数学は私の分野ではありません。私は、フィールドの最近の進展に追いつくために、どの応用数学ジャーナルを読むべきかについてまだ触れていません。 PDEを数値的に解く最近の進展に追いつくために読むのに良いジャーナルは何ですか？

10 pde  publications 

現在、私はCrank-Nicholsonアルゴリズムを使用するコードを持っていますが、タイムステッピングについてはより高次のアルゴリズムに移行したいと思います。クランクニコルソンアルゴリズムは、使用したいドメインで安定していることは知っていますが、他のアルゴリズムが安定していない可能性があることを心配しています。 アルゴリズムの安定領域を計算する方法を知っていますが、それはちょっと面倒なことです。放物線状偏微分方程式の多数のタイムステッピングアルゴリズムの安定性の特性に関する優れたリファレンスを知っている人はいますか？

10 pde  stability  parabolic-pde 

人々は通常、単一電子問題（SAE）を使用して多電子システムを扱い、問題を単一電子問題に変換しているようです。例えば、ヘリウム原子がレーザー場と相互作用する問題を数値的に解く場合、人々は通常、擬ポテンシャルによる電子-電子効果を含めて概算し、本質的に一電子問題を解きます。それでは、時間依存の多電子シュレディンガー方程式を数値的に解くことが難しいのはなぜですか。古典的なn体問題よりもはるかに難しいですか？天文学ではリアルタイムでも数値的に解決される古典的な体の巨大な問題がたくさんあるのを見てきました。たとえば、ここでは280000粒子の相互作用を含む2つの銀河の衝突をリアルタイムでシミュレートしています。んんn

10 pde  quantum-mechanics 

私はFEの初心者です。私のアプリケーションは、スペースが5次元である金融デリバティブの価格設定です。したがって、時間を追加すると、問題には6つの側面があります。 私は周りを見回そうとしましたが（Fenics、escript、deal.II、...）、私の理解では、これらのソフトウェアは3 + 1（3dスペース+ 1d時間）に制限されています。これは正しいです？ 私のターゲット言語はPythonまたはC ++です。 私の問題の説明 毎月、投資家が再投資する自由があるかどうかにかかわらず、投資商品の価格を設定したいと思います。確率論的ボラティリティ、確率論的金利、確率論的死亡率について、そうしたいと思います。 確率的PDEは次のようになります ここで、は株価関連付けられた時間依存定数であり、 μ S T SB S TdStdσtdrtdqt= μStdt+ σt−−√dBSt=μσtdt + νσtdBσt= μrtdt + νrtdBrt= μqtdt + νqtdBqt（株式）（ボラティリティ）（金利）（死亡）dSt=μtSdt+σtdBtS（株式）dσt=μtσdt+νtσdBtσ（ボラティリティ）drt=μtrdt+νtrdBtr（金利）dqt=μtqdt+νtqdBtq（死亡）\begin{align} dS_t &= \mu^S_t d_t + \sqrt{\sigma_t} dB^S_t &\text{(stock)}\\ d\sigma_t &= \mu^\sigma_t dt + \nu^\sigma_t dB^\sigma_t & \text{(volatility)} \\ dr_t &= \mu^r_t dt + …

10 pde  finite-element 

私が知っている、区分的線形有限要素近似の 満たす は、Uが十分滑らかでf ^ in L ^ 2（U）である場合に限ります。uhuhu_hΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂UΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂U \Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U ∥u−uh∥H10(U)≤Ch∥f∥L2(U)‖u−uh‖H01(U)≤Ch‖f‖L2(U) \|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)} UUUf∈L2(U)f∈L2(U)f\in L^2(U) 質問：もしf∈H−1(U)∖L2(U)f∈H−1(U)∖L2(U)f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)、我々は1つの誘導体が両側に奪われている以下の類似の推定値を、持っています： ∥u−uh∥L2(U)≤Ch∥f∥H−1(U)?‖u−uh‖L2(U)≤Ch‖f‖H−1(U)? \|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad? 参照を提供できますか？ 考え：私たちはまだu \ in H ^ 1_0（U）を持っているのでu∈H10(U)u∈H01(U)u\in H^1_0(U)、L ^ 2（U）で収束を得ることができるはずL2(U)L2(U)L^2(U)です。直感的には、これは区分定数関数でも可能です。

9 finite-element  pde  reference-request  convergence  elliptic-pde 

以下の非線形方程式u t + u x + u u x − u x x t = 0 を有限差分法を使って解く論文[1]を読んでい ます。また、フォンノイマンの安定性分析を使用してスキームの安定性を分析します。ただし、作成者が認識しているように、これは線形PDEにのみ適用できます。したがって、著者は非線形項を「フリーズ」することでこれに対処します。つまり、u u x項をU u xに置き換えます。ここで、Uは「あなたt+ uバツ+ u uバツ− Ux x t= 0あなたt+あなたバツ+あなたあなたバツ−あなたバツバツt=0\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}U Uバツあなたあなたバツuu_xUあなたバツUあなたバツUu_xUUU。」あなたあなたu だから私の質問は2つあります： 1：この方法を解釈する方法となぜそれが機能しない（しない）のか？ 2：項をu U x項で置き換えることもできます。ここで、U xは「u xの局所的に一定の値を表すと見なされます」？U Uバツあなたあなたバツuu_xu UバツあなたUバツuU_xUバツUバツU_xあなたバツあなたバツu_x 参考文献 …

9 pde  finite-difference  numerical-analysis  nonlinear-equations  stability 

値に依存する目的関数があります。ここで、はPDEの解です。PDEの初期条件である勾配降下によってを最適化しています。つまり、を更新し、PDEを統合して残差を計算する必要があります。つまり、勾配降下ステップサイズ（と呼びます）のラインサーチを実行する場合、すべての潜在的な値について、PDEをもう一度統合する必要があります。EEEϕ(x,t=1.0)ϕ(x,t=1.0)\phi(x, t = 1.0)ϕ(x,t)ϕ(x,t)\phi(x, t)EEEϕ(x,t=0.0)ϕ(x,t=0.0)\phi(x, t = 0.0)ϕ(x,t=0.0)ϕ(x,t=0.0)\phi(x, t = 0.0)αα\alphaαα\alpha 私の場合、それは法外に高価になるでしょう。適応型勾配降下ステップサイズの別のオプションはありますか？ 私はここで数学的に原理的なスキームを探しているだけではありません（もちろん、何かが存在する場合はそれよりも優れています）が、一般に静的ステップサイズよりも優れているものであれば何でも満足します。 ありがとう！

9 optimization  pde  conjugate-gradient 

FEMの文献では、時間に依存するPDEのソリューションでは、通常、準変分法が使用されます。完全に変分的なアプローチ、つまり、FEMによって空間と時間が離散化され、構造化されていない時空間メッシュの使用を可能にするアプローチを見たことはありません。タイムステッピングメソッドの方が実装が簡単かもしれませんが、時空間メッシュが実行できない特別な理由はありますか？特定の問題の物理的特性を尊重するためにメッシュを調整する必要があると思いますが、確実ではありません。

9 pde  finite-element  discretization  time-integration 

私は線の方法がPDEの離散化について考える非常に自然な方法であることを発見しました。したがって、新しい方程式のセットが提示されたとき、私は常にその考え方にデフォルトを設定します。これが機能しないPDEを見たことがありません。 線の方法では定式化できない離散化の方法（またはPDEのタイプ）があるかどうかと思います。時間微分が方程式で暗黙的であり、解くことができないすべてのPDEがそのようなケースの1つになると思います（ただし、実際の例はわかりません）。線の方法が常に適用できる理由についての推論または反例を探しています。

9 pde  method-of-lines 

私は、数値PDEおよびODEの主題、特に専門の数学者向けに書かれた方法でのそのような方法の厳密な分析に関する本の参考文献の提案に興味があります。数百または数千の異なるメソッドをリストするという意味では、非常に包括的である必要はありませんが、現代のテクニックを導く主要な概念の少なくともほとんどをカバーするものに興味があります。 私がよく知っている数値線形代数についてのテキストに類推を描くのが適切だと思います。Highamの数値アルゴリズムの精度と安定性は数値線形代数の安定性と丸め誤差であり、ODEとPDEの最新の手法をGolubの方法で説明するため、数値微分方程式の安定性と打ち切り誤差に関するものを探していますVan LoanのMatrix Computationsは、線形代数の主なタイプの技法のほとんどについて説明しています。 私は実際には数値ODEとPDEについてほとんど知りません。私はいくつかのオンラインノートを読んでいますが、Randall LeVequeによる『Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations』という本を持っています。これは明確な本ですが、目的には十分ではありません。私が探しているレベルのより具体的な例として、楕円および放物線方程式のセクションは、読者がソボレフ空間とその埋め込みの理論、およびPDEの弱い解に完全に精通しており、結果を使用していることを前提としています。その理論から、有限要素などの誤差推定を導出する際にかなり自由に

9 pde  reference-request  ode 

Matlab pdeツールボックスを使用して、特定の楕円方程式を2Dで解決しています。 ソリューションは問題ありませんが、特定のラインに沿ってプロットする必要があります。つまり、ソリューションを表す3Dメッシュから平面スライスをカットする必要があります。 ツールボックス関数を賢く含む方法（つまり、三角形メッシュでの低レベルの補間を含まない方法）を理解できません。 助けてくれてありがとう。

9 pde  matlab 

私は魅力的な有限要素解析の世界に飛び込んでおり、大きな熱機械的問題（熱機械のみ、フィードバックなし）を解決したいと考えています。→→\rightarrow 機械的な問題については、メッシュのサイズが原因で反復ソルバーを使用する必要があることを、Geoffの回答からすでに把握しました。Mattの返答をさらに読んで、正しい反復アルゴリズムの選択は困難な作業であると述べました。 最高のパフォーマンスの検索を絞り込むのに役立つ大きな3次元線形弾性問題の経験があるかどうかをここで尋ねていますか？私の場合、それは薄いパターン化されたフィルムと不規則に配置された材料（高CTEと低CTEの両方）の構造です。この熱機械分析では大きな変形はありません。大学のHPC [1.314ノード、2つのAMD Opteronプロセッサ（各2.2 GHz / 8コア）を使用]を使用できます。 私はPETSc興味深いもの、特にある種のドメイン分解（FETI、マルチグリッド）を行うアルゴリズムを含むことができると思いますが、オプションに少し圧倒され、経験がありません。「幾何学的な情報に基づいたプレコンディショナー」というフレーズも好きですが、これが役立つかどうかはわかりません。線形連続体力学に焦点を当てたものはまだ見つけていません。 強力なスケーリング（アムダール）は私のアプリケーションで非常に重要です。なぜなら、私の産業パートナーはシミュレーション結果を長時間待つことができないからです。私は間違いなく回答だけでなく、コメントでさらに読むための推奨事項にも感謝しています。

9 pde  parallel-computing  petsc  hpc  iterative-method 

次の周期的な1D移流問題があったとします。 Ω=[0、1]U（0、T）=U（1、T）、U（X、0）=G（X）G（X）のx*∈（0、1）∂u∂t+c∂u∂x=0∂u∂t+c∂u∂x=0\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0 in ここで、はでジャンプの不連続性を持っています。 Ω=[0,1]Ω=[0,1]\Omega=[0,1] u(0,t)=u(1,t)u(0,t)=u(1,t)u(0,t)=u(1,t) u(x,0)=g(x)u(x,0)=g(x)u(x,0)=g(x)g(x)g(x)g(x)x∗∈(0,1)x∗∈(0,1)x^*\in (0,1) 一次以上の線形有限差分スキームでは、不連続な振動が時間とともに移流されるときに不連続点の近くでスプリアス振動が発生し、その結果、予想される波形から解が歪みます。ウィキペディアの説明によると、これらの振動は通常、不連続関数が有限フーリエ級数で近似されるときに発生するようです。 どういうわけか、このPDEの解で有限フーリエ級数がどのように観測できるのか理解できません。特に、「オーバーシュート」の限界を分析的にどのように推定できますか？

9 pde  finite-difference  advection 

以下について、いくつか質問があります。 私は、クランクニコルソンの離散化を使用して1Dでシュレディンガー方程式を解き、続いて結果の三重対角行列を反転させようとしています。私の問題は周期的な境界条件の問題に発展したため、シャーマンモリソンアルゴリズムを使用するようにコードを変更しました。 仮定しv、私は三重対角行列を反転したいとき、各時間ステップでの私のRHSです。のサイズvは、スペース上にあるグリッドポイントの数です。私が設定するv[0]とv[-1]、私の定期的な状況で必要とされるように、お互いに関して、私の方程式は爆発します。なぜこれが起こっているのかわかりません。私はpython2.7とscipyの組み込みのsolve_bandedを使用して方程式を解いています。 これは私の2番目の質問につながります。Pythonは私が最もよく知っている言語であるため使用しましたが、（numpyとscipyによって提供される最適化を使用しても）かなり遅いと感じます。C ++に慣れているので、C ++を使用してみました。BLAS最適化されるGSLを使用すると思いましたが、複雑なベクトルを作成したり、そのような複雑な値のベクトルで三重対角行列を解いたりするためのドキュメントが見つかりませんでした。 私は、波動関数間の結合を含めるために後で一般化する最も簡単な方法であり、したがってオブジェクト指向言語に固執していると思うので、プログラムにオブジェクトを入れたいと思います。 三重対角行列ソルバーを手動で作成することもできましたが、Pythonで作成すると問題が発生しました。細かく細かいタイムステップで長い時間をかけて進化していくと、エラーが蓄積し、無意味なものになってしまいました。これを念頭に置いて、組み込みのメソッドを使用することにしました。 アドバイスは大歓迎です。 編集：関連するコードスニペットは次のとおりです。この表記法は、Wikipediaのページの三重対角行列（TDM）方程式から借用したものです。vは、各タイムステップでのクランクニコルソンアルゴリズムのRHSです。ベクトルa、b、cはTDMの対角線です。定期的なケースの修正されたアルゴリズムは、CFD Wikiからのものです。少し名前を変更しました。彼らがu、vと呼んでいるものをU、V（大文字）と呼んでいます。私はqを補数、yを一時的なソリューション、実際のソリューションをself.currentStateと呼んでいます。ここでv [0]とv [-1]の割り当てが問題を引き起こしているため、コメント化されています。ガンマの要素は無視してかまいません。これらは、ボーズアインシュタイン凝縮のモデル化に使用される非線形因子です。 for T in np.arange(self.timeArraySize): for i in np.arange(0,self.spaceArraySize-1): v[i] = Y*self.currentState[i+1] + (1-2*Y)*self.currentState[i] + Y*self.currentState[i-1] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[i]*self.currentState[i] - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[i])**2)*self.currentState[i] b[i] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[i] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[i])**2) #v[0] = Y*self.currentState[1] + (1-2*Y)*self.currentState[0] + Y*self.currentState[-1] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[0]*self.currentState[0]# - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[0])**2)*self.currentState[0] …

9 pde  linear-algebra  boundary-conditions