1D移流方程式の数値解でスプリアス振動の限界をどのようにして導き出すことができますか？

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次の周期的な1D移流問題があったとします。

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ in ここで、はでジャンプの不連続性を持っています。 $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
$g(x)$ $x^*\in (0,1)$

一次以上の線形有限差分スキームでは、不連続な振動が時間とともに移流されるときに不連続点の近くでスプリアス振動が発生し、その結果、予想される波形から解が歪みます。ウィキペディアの説明によると、これらの振動は通常、不連続関数が有限フーリエ級数で近似されるときに発生するようです。

どういうわけか、このPDEの解で有限フーリエ級数がどのように観測できるのか理解できません。特に、「オーバーシュート」の限界を分析的にどのように推定できますか？

pde finite-difference advection

— ポール
ソース

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一次風上法は単調です。スプリアス振動は発生しません。しかし、これは一次精度のみであり、多くの目的に使用できないほど多くの数値拡散が発生します。Godunovの定理は、1次よりも高い線形空間離散化は単調ではあり得ないと述べています。振動を厳密に制御するには、Total Variation Diminishing（TVD）スキームを使用します。TVDメソッドは通常、2次精度に制限されます。より高次の場合、要求を緩和して、（加重）エッセンシャル非振動（（W）ENO）のようなトータルバリエーションバウンド（TVB）メソッドに導くか、TVDの定義を「最大原理維持」に緩和する必要があります。または同様の場合、最初の極値は最初の再構築された解に関するものであり、特別な制限スキーム。

— ジェド・ブラウン
ソース

お詫び...どういうわけか、これは一次スキームにも当てはまる印象を受けました。このコメントを反映するように質問を編集しました。

— ポール

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周期的な境界を持つ1D問題の線形有限差分離散化は、の形式の離散化につながります

U^{n + 1} = L U^{n}

$U^{n+1} = LU^n$

ここで、は循環行列です。任意の循環行列の固有ベクトルは離散フーリエモード（ここで、はグリッド間隔であり、は波数であり、ゼロからグリッドで表現可能な最大波数までの範囲です）。これらの固有ベクトルは、グリッドで表すことができるすべての関数の基礎を形成します。これらの離散フーリエモードの観点から解を表現する場合、数値的手法は対角化されます。つまり、各ステップで各フーリエ成分に（一般に複雑な）スカラー係数が乗算されます。スカラー係数はしばしば増幅係数と呼ばれ、先ほど説明したものはフォンノイマン分析として知られています。 $L$

v_{j} = \exp (i j h ξ)

$v_j = \exp(ijh\xi)$

h

$h$

ξ

$\xi$ 。これは、線形微分演算子の「対角化」にフーリエ基底を使用する線形PDEのフーリエ解析に似ています。

たとえば、StrikwerdaやLeVequeのテキストで、わかりやすい説明を見つけることができます。

— デビッド・ケチェソン
ソース

私はフォン・ノイマン分析に精通しています。しかし、この分析を実際に使用して、スプリアス振動の限界を導き出すことはできますか？

— ポール

私は主にあなたの発言に応答していましたが、このPDEの解で有限フーリエ級数をどのように観測できるのか理解できません。 しかし、はい、この分析からそのような境界を得ることができます。たとえば、すべてのモードが建設的に干渉する最悪のシナリオを見ることができます。ただし、これは非常に悲観的な限界になる可能性があります。実際には、TVDまたはTVB（非常に強力で線形スキームに当てはまらない）以外の境界を派生する人は見たことがありません。

— David Ketcheson、

おそらく、最高波数モードの分散関係を調べることで、より興味深い境界を得ることができます。しかし、私はそれが行われたのを見たことがない。

— David Ketcheson、

2

すべてのスプリアス振動がギブス現象であるとは限りません。それらは似ているように見えますが、不連続関数のすべての有限フーリエ近似にはギブス振動があります（項を追加するにつれて小さくなる）。一方、無限級数を必要としないPDEの有限差分近似の解から生じる不連続関数の非振動表現があります。

$\inf$ $\sup$

— ビル・バース
ソース

3

これは有用な論文ですが、inf-supの安定性は振動の強力な制御を提供しないことに注意してください。たとえば、inf-supの安定性は、TVDメソッドを提供できません。そして、ゴドゥノフの定理に照らして、一次以上の非振動解を持つつもりなら、線形空間離散化を探すことは意味がありません。ペクレ数はこのペーパーのすべてのメソッドに表示され、メソッドはとして一次精度に低下しますが、TVDではありません。

P e \to \infty

$\mathrm{Pe}\to \infty$

— Jed Brown、2012

これらはすべて正しい説明です。これは、対流拡散問題にのみ適用されます。

— Bill Barth

2

有限フーリエ級数と有限要素近似の間の接続に関する最後の質問については、一般的に、基底関数が連続である有限次元空間にジャンプで関数を投影しようとすると、ギブス現象が発生します。これは、基底が有限のフーリエ級数（基底関数が正弦と余弦である場合）である場合、または基底が通常の有限要素ハット関数である場合に当てはまります。これは、射影の特性と基底関数の不適合性です。

— ヴォルフガングバンガース
ソース

私は明らかに練習していないので、間違っていると証明されてうれしいですが、私は帽子の機能への投影についてのあなたのコメントをそれ以上の資格なしに買いません。初年度のFEMクラスからの古い1-D MATLABコードを使用した私の迅速な計算は、ハット関数を使用したへのステップ関数の投影が振動しないことを示しています。私が欠けているものを示すことができる例はありますか？

H_{0}^{1}

$H_0^1$

— Bill Barth、

気にしないで。古いコードは古いです。振動を再現できます。前のコメントが撤回されました。

— Bill Barthが2012年

私は私が助けることができてうれしいです:-)

— Wolfgang Bangerth

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1つのアプローチは、同等の方程式、つまり、離散メソッドが最も近い近似を与える微分方程式を使用する方法です。これは、解こうとしていた微分方程式ではありません。次に、初期データとしてのステップ関数について、等価方程式の漸近解を調べます。Bouche、D.、Bonnaud、G.およびRamos、D.、2003を参照してください。移流方程式を解くための数値スキームの比較。応用数学の手紙、16（2）、pp.147-154。

— フィリップ・ロー
ソース