参照リクエスト：PDEおよびODEのアルゴリズムの厳密な分析

私は、数値PDEおよびODEの主題、特に専門の数学者向けに書かれた方法でのそのような方法の厳密な分析に関する本の参考文献の提案に興味があります。数百または数千の異なるメソッドをリストするという意味では、非常に包括的である必要はありませんが、現代のテクニックを導く主要な概念の少なくともほとんどをカバーするものに興味があります。

私がよく知っている数値線形代数についてのテキストに類推を描くのが適切だと思います。Highamの数値アルゴリズムの精度と安定性は数値線形代数の安定性と丸め誤差であり、ODEとPDEの最新の手法をGolubの方法で説明するため、数値微分方程式の安定性と打ち切り誤差に関するものを探していますVan LoanのMatrix Computationsは、線形代数の主なタイプの技法のほとんどについて説明しています。

私は実際には数値ODEとPDEについてほとんど知りません。私はいくつかのオンラインノートを読んでいますが、Randall LeVequeによる『Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations』という本を持っています。これは明確な本ですが、目的には十分ではありません。私が探しているレベルのより具体的な例として、楕円および放物線方程式のセクションは、読者がソボレフ空間とその埋め込みの理論、およびPDEの弱い解に完全に精通しており、結果を使用していることを前提としています。その理論から、有限要素などの誤差推定を導出する際にかなり自由に

PDEのすべての重要なメソッドの分析を体系的にカバーするリファレンスは1つもありません。PDEの離散化手法の分野は、上記のどちらのトピックよりも少なくとも1桁大きいです。暗黙的な解決を伴う方法の場合、解法（たとえば、関連するマルチグリッド法）も考慮せずに離散化を研究することは、「絶望的に非現実的な」コーナーに自分を描くための、試行された真の方法です。

おそらくあなたは、ブレンナーとスコット、有限要素法の数理理論に精通しているでしょう。これは大学院レベルのテキストであり、紹介事項を共有していますが、重要な結果にすぐに到達できます。

事後 FEMにおけるエラー解析、良い情報源は、レビュー論文でエインズワースやおでん、有限要素解析における事後誤差推定、1997。

有限体積法については、Acta Numericaの論文Morton and Sonar、Finite volume methods for hyperbolic保存則、2007が好きかもしれません。Acta Numericaの論文が進むにつれて、これはあまり引用されていません。LeVequeの本が非常に優れていて、彼の本を使用したことがないほとんどの開業医が多くの元の情報源に精通しているためと思われます。私はそれには馴染みがありませんが、Bouchut、非線形双曲線保存則の有限体積法の非線形安定性もご覧になるかもしれません。

離散化と同時にソルバーを検討することの重要性についてのJedのポイントを次に示します。これは、「より純粋な」数学者が間違った問題を解決しているときに、多くの場合彼らの不利益に失敗することがあります。ブロック構造、スパースパターン、プリコンディショナーを構築する機能などは、自由度の数やメッシュサイズなどの単純なものよりもはるかに重要になる傾向があります。

Brezzi＆Fortin-「混合およびハイブリッド有限要素法」は、ブレンナーとスコットを補足する資料をカバーしています。それは絶版であり、人々は本当に彼らのコピーにこだわるので、もしあなたが数百ドルを払いたくないならあなたはおそらくあなたの図書館からそれを借りる必要があるでしょう。

「有限要素法における事後誤差推定への最適制御アプローチ」などの2000年代初頭のRannacherらの一連の論文は、エインズワースとオーデンの説明よりも、事後誤差推定についてより深く、より広く適用できる理解を提供します。本（私の意見では）。

Sobolevスペースは、PDEのすべての機能を備えた機能スペースではありませんが、Evansなどの入門用の大学院の本を読んでいるような印象を受けるかもしれません。Besovスペースはより一般的で非常に優れており、基本的なビルディングブロックを制御して振動、積分可能性、マルチスケール構造に制約を与えることにより、特定の関数スペースがどのように、そしてなぜ構築されるかを考えるように強いられます。関数空間の主題に関する「哲学的な」素晴らしい記事は、Terry Taoのこちらの投稿です。Triebelの本（主にBesov空間について）の"Theory of Function Spaces II"は素晴らしいです！Besovスペースとウェーブレットの間には深いつながりがあるため、ウェーブレットに関する DeVoreの非常に読みやすい記事が役立ちます。

Jedのすばらしい推奨に加えて（私は個人的にBrenner + Scottをすばらしいイントロ有限要素の本として保証できます）、ODEの数値解のための優れた本はブッチャーです：

http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

私の大学図書館がそれを思い出すまで、それはしばらくの間私の聖書でした。

また、デリケートな数学に既に慣れている場合は、Ern + Guermondが貴重な本になる可能性もあります。

http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC

Ern + Guermondからいくつかの論文を読んだことで、彼らは間違いなく重い形式主義に傾いていると言えるでしょう。章は多かれ少なかれ自己完結型のモジュロであり、その定義を得るためにひっくり返す必要があるかもしれないいくつかの表記法です。

PDEの場合、ErnやGuermondと同様の機能分析的な風味の本は、D。ブレス、有限要素、ケンブリッジ大学出版局、2007年です。研究モノグラフというよりは教科書なので、包括的ではありませんが、よりアクセスしやすくなっています。一方、アプリケーションについても説明します（主に弾性）。

ODEに関しては、聖書はまだヘラーとワナーによる3巻の著作であると考えています（ODE Iの解決、ODE IIの解決、および幾何学的数値積分）。

最後に、インターネットで入手できる多くの優れた講義ノートを見落とさないでください。