線形PDEのこの単純な誤差推定はどうですか？

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LET 多角形でリプシッツ領域有界凸状せ、。 $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

$\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

いくつかの有限要素近似場合、たとえば、均一なグリッド上の節点要素を使用すると、誤差推定が得られます。 $u_h$

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

人々は通常、明白なエラー推定値を使用しないようです（おそらく私はそれで間違っています）

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

これは、上記の2つの不等式の組み合わせで取得できます。代わりに、事後誤差推定器はさまざまな形式で開発されます。上記の方程式に対して私が想像できる唯一の異論は、定数が実際には悲観的すぎるか、信頼性の高い推定ができない場合があることです。 $C$

pde finite-element error-estimation

— 周ハロ
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私の意見では、人々が最初の推定値を使用することを好む理由は、最初の推定値はFEMのガラーキン直交性、補間近似プロパティ、そして最も重要なことには双線形形式の保磁力から自然に生じるためです（ポアソン方程式の境界値問題の場合）、これは関数のポアンカレ/フリードリッヒの不等式と同等です）： $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ ここで、は関数のポアンカレ/フリードリヒスの不等式の定数に依存し、は有限におけるの内挿です要素空間、および

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ メッシュの最小角度に依存します。

楕円規則性推定はPDEレベルのみにありますが、近似と上記の引数は、が分布の場合でも成立します。 $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

次に、事後誤差推定が広く使用されている理由に移ります。主な理由は次のとおりです。

計算可能であり、推定値の表現に一般的な定数はありません。
推定器には、ローカルフォームがあります。これは、適応メッシュリファイン手順で使用するローカルエラーインジケーターになる可能性があります。したがって、特異点または本当に「悪い」ジオメトリの問題に対処できます。

あなたがリストした先験的なタイプの推定値はどちらも有効であり、収束の次数の情報を提供しますが、定数のためにどちらも計算できないので、どれも1つの三角形/四面体のローカルエラーインジケーターにはなりません、それらはローカルに定義されていません。

編集：楕円PDEのFEMの一般的なビューの詳細については、ブレンナーとスコットの本の第0章を読むことを強くお勧めします：有限要素法の数学理論、 20ページのみで構成され、有限要素法のほぼすべての側面を簡単にカバーします、PDEのGalerkinの定式化から、なぜ適応型FEMを使用して問題に取り組みたいのかという動機付けまで。これがあなたにもっと役立つことを願っています。

— 曹操
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あなたの見積もりは2つの面で悲観的すぎます。最初の1つはすでに特定済みです（には補間定数だけでなく安定性定数も含まれています）。2つ目は、誤差の推定値が実際に右側にはノルムではなくセミノルムがあることに注意してください。もちろん、rhsを完全な基準で制限することはできますが、この方法で再び失います。 $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— ヴォルフガングバンガース
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