放物線状偏微分方程式を解くいくつかの方法の安定性特性に関する良い参考資料はどこにありますか？

現在、私はCrank-Nicholsonアルゴリズムを使用するコードを持っていますが、タイムステッピングについてはより高次のアルゴリズムに移行したいと思います。クランクニコルソンアルゴリズムは、使用したいドメインで安定していることは知っていますが、他のアルゴリズムが安定していない可能性があることを心配しています。

アルゴリズムの安定領域を計算する方法を知っていますが、それはちょっと面倒なことです。放物線状偏微分方程式の多数のタイムステッピングアルゴリズムの安定性の特性に関する優れたリファレンスを知っている人はいますか？

私の個人的なお気に入りは、John Strikwerda著の「有限差分スキームと偏微分方程式」です。

彼はフーリエ解析を使用した安定性理論の非常に素晴らしい扱いを持っています。私は初版しか持っていませんが、彼は安定領域の概念を紹介していません。SIAMのWebサイトによると、第2版でこの資料が追加されています。

非常に短い答え：総合的な参照として、ヘアラーとワナーのボリュームIIに勝ることはできません。

短い答え：係数を指定して、線形マルチステップまたはルンゲクッタ法の安定領域をプロットするいくつかのMATLABスクリプトを次に示します。Pythonパッケージnodepyを使用することもできます（免責事項：これは私のパッケージであり、最も洗練されたソフトウェアではありませんが、安定性領域のプロットは非常にうまく機能します）。安定領域をプロットするための手順はここにあります。

より長い答え：興味があるかもしれないメソッドのクラスが3つあります。

• $A$$A$-安定。そのようなメソッドのいくつかの例は、Gauss-Legendre、Radau、およびLobattoメソッドです。これらはすべて完全に暗黙的であるため、かなり高価です。

• $A(\alpha)$ode15s()$\alpha$

• 明示的な方法。必要なのは、負の実軸上の有限区間のみです。大きな負の実軸安定領域を持ち、穏やかにスティッフな問題に適していますが、通常は放物線の問題には適さない、特別な「安定化された」陽解法（特に、ルンゲクッタチェビシェフメソッド）があります。その文献への良い入り口は、安定領域に関する多くの情報を含むこの論文です。

$L$$L$

更新：このトピックに関するすべてを本当に知る必要がある場合は、DekkerとVerwerのモノグラフのコピーを入手してください。これには、片側リプシッツ定数、対数ノルム、およびいくつかのより深い安定性の概念などの概念への既存の優れた導入の1つがあります。それは絶版ですが、通常はAmazonで中古のコピーを見つけることができます（有料）。