線の方法を使用してすべてのPDEを離散化できますか？

私は線の方法がPDEの離散化について考える非常に自然な方法であることを発見しました。したがって、新しい方程式のセットが提示されたとき、私は常にその考え方にデフォルトを設定します。これが機能しないPDEを見たことがありません。

線の方法では定式化できない離散化の方法（またはPDEのタイプ）があるかどうかと思います。時間微分が方程式で暗黙的であり、解くことができないすべてのPDEがそのようなケースの1つになると思います（ただし、実際の例はわかりません）。線の方法が常に適用できる理由についての推論または反例を探しています。

通常の線の方法のアプローチが簡単な方法で使用できない1つの状況は、時空の導関数が混合している方程式です。「通常の線の方法のアプローチ」とは、空間導関数の離散化と、ルンゲクッタ法または線形多段階法の適用。これは通常、1次（時間内）進化PDEのシステムにのみ適用されます。

このような混合導関数を使用した方程式の例は、式1です。（2.1）http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064の。

少なくともいくつかのケースでは、そのような方程式を進化PDEの1次システムとして書き換えることは可能ですが、ここでそれを行う方法はすぐにはわかりません。そのような方程式に線の方法を適用する他のトリックがあるかもしれませんが、私はそれらを知りません。