多電子時間依存シュレディンガー方程式を数値的に解くのが難しいのはなぜですか

人々は通常、単一電子問題（SAE）を使用して多電子システムを扱い、問題を単一電子問題に変換しているようです。例えば、ヘリウム原子がレーザー場と相互作用する問題を数値的に解く場合、人々は通常、擬ポテンシャルによる電子-電子効果を含めて概算し、本質的に一電子問題を解きます。それでは、時間依存の多電子シュレディンガー方程式を数値的に解くことが難しいのはなぜですか。古典的なn体問題よりもはるかに難しいですか？天文学ではリアルタイムでも数値的に解決される古典的な体の巨大な問題がたくさんあるのを見てきました。たとえば、ここでは280000粒子の相互作用を含む2つの銀河の衝突をリアルタイムでシミュレートしています。 $n$

pde quantum-mechanics

— xslittlegrass
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難しさに加えて、革新を推進するユーティリティもあります。天体物理学的

体問題は時間発展を必要とします。一方、エネルギー準位を見つけるなど、時間依存性がほとんどない、またはまったくないマルチ電子原子を使用してできることはたくさんあります。言い換えれば、衝突する銀河よりも原子の定常状態を含む多くのアプリケーションがあります。

n

$n$

多分、でも私はそれがポイントの外にあると思います。定常的な量子計算でさえ非常に高価です。しかし、それでも、時間依存の量子計算は非常に関連性が高く、ほとんどすべての実際的なケースで実行するにはコストがかかりすぎます。これが、過去に行われていない理由を説明しています。

— Wolfgang Bangerth 2013年

はい、そうすることははるかに困難です。以下のため体問題、あなたが計算するために必要なすべてがされている軌跡だけである単一の変数の機能を。 $N$ $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ $N$

一方、単一電子の場合でも、シュレーディンガー方程式の解は、関数、つまり4つの変数の関数です。2つの電子の場合、波動関数を2つの電子と時間の位置の関数として表す関数を探しています。これは7つの変数です。 $\Psi(x,y,z,t)$ $\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

ここで、ボディ問題のニュートン方程式などの常微分方程式を解く方法を覚えている場合は、すべての方程式を、時間からステップまでの時間だけ前進させる必要があります。 $N$ $t$ とそこには、解を計算します。だから、あなたの時間間隔分ける場合に長さの間隔、その後毎時間ステップのための努力はなりの相互作用の単純な実装用いてことができます（体メソッドを使用して達成する $t+\Delta t$ $[0,T]$ $M$ $\Delta t=T/M$ $N^2M$ $N$ 労力ですが、それは要点です）。 $N (\log N) M$

一方、7つの変数の関数を見つけるには、上記のように時間間隔をサブ間隔に分割するとしますが、6個の空間座標についても同じことを行うと仮定します。次に、考慮すべき合計グリッドポイントがあります。そして一般的に、体量子系では、です。 $M$ $M^7$ $N$ $M^{3N+1}$

かなり小さい場合でも、労力がよりもはるかに大きいことを簡単に確認できます。これは、多体量子計算が体の古典力学よりも非常に高価であることを説明しています。。 $N,M$ $M^{3N+1}$ $N^2M$ $N$

— ヴォルフガングバンガース
ソース

N^{2} M

$N^2 M$

M^{3 N + 1}

$M^{3N+1}$

はい、そうです。しかし、概して、組み合わせの複雑さを取り除くことはできません。

— Wolfgang Bangerth 2013年