時間依存PDEの時空間有限要素離散化

FEMの文献では、時間に依存するPDEのソリューションでは、通常、準変分法が使用されます。完全に変分的なアプローチ、つまり、FEMによって空間と時間が離散化され、構造化されていない時空間メッシュの使用を可能にするアプローチを見たことはありません。タイムステッピングメソッドの方が実装が簡単かもしれませんが、時空間メッシュが実行できない特別な理由はありますか？特定の問題の物理的特性を尊重するためにメッシュを調整する必要があると思いますが、確実ではありません。

時間に依存する偏微分方程式の完全な時空の離散化は確かに重要です。（時間の離散化が空間に依存しないという意味で）構造化メッシュを適切に使用し、適切な試行およびテスト関数を選択する場合、いくつかの標準的な時間ステップ法（Crank-Nicolson、陰的オイラー、またはいくつかのRunge）を適合させることができます。 -Kuttaスキーム）をGalerkinフレームワークに組み込み、分析のためのエレガントなアプローチを提供します。これは、たとえば、Thoméeの本の放物線の問題のGalerkin有限要素法（Springer、第2版、2006）やChrysafinosの論文、Walkingtonの論文、放物型方程式の不連続Galerkin法の誤差推定（SIAM J. Numer。Anal 。44.1、349–366、2006）。

完全に構造化されていないメッシュを使用することはあまり一般的ではありませんが、特性に沿って情報を転送する双曲線の問題には意味があります。不連続なガラーキン定式化を使用する場合、各時空要素は面項を介して隣接する要素とのみ結合します（グローバルな連続性の要件はありません）。スイーププロセスを使用して、特性に沿って要素から要素に移動することでソリューションを計算できます。 -一種の「斜めの」時間ステップ。もちろん、完全な時空間メッシュを格納する必要がない場合でも、これは実装がはるかに困難です（これは非常に困難な場合があります）。一方、非構造化メッシュの利点は、ローカル（アダプティブ）リファインメントを可能にし、ローカルアダプティブタイムステッピングを可能にします。弾性力学の時空間有限要素法：公式化と誤差推定、応用力学と工学におけるコンピューター法66（3）：339-363、1988。不連続ガラーキン法の時空メッシュに関するShripat Thiteによる博士論文もあります。

私がこのアイデアを見たもう1つの状況は、放物線問題のPDE制約付き最適化です。そこでは、1次の必要な最適性条件を前向き方程式の連立方程式として定式化できます。これは、時間の2次、空間の楕円形の4次が初期-最終（および境界）条件。この結合システムの適応時空離散化を行うことで、ソリューションを計算するための効率的なワンショットアプローチを実現できます。Gong 、Hinze、Zhou：放物線状最適制御問題の時空有限要素近似、J Numerを参照してください。数学。20（2）：111-145（2012）。

時空法に関する最近の論文があります。シュタインバッハ、時空有限要素からの1つとランガー他からの1つがあります。ほか、すべての放物線進化問題に対処する時空間アイソメトリック分析。両方の記事で、彼らは変分製剤を鮮明に説明していますが、設定は異なります。タイトルが示すように、前者はFEMを使用し、後者はIgAを使用します。これは特にあなたが求めるものについての良い情報を与えると思います。

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Tensor製品の時空間実装は、非テンソルベースの実装とは大きく異なります。特にFEMの場合、後者は少し注意が必要です。