フォンノイマンの安定性分析は、非線形有限差分方程式について何を教えてくれますか？

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以下の非線形方程式を有限差分法を使って解く論文[1]を読んでいます。また、フォンノイマンの安定性分析を使用してスキームの安定性を分析します。ただし、作成者が認識しているように、これは線形PDEにのみ適用できます。したがって、著者は非線形項を「フリーズ」することでこれに対処します。つまり、項をに置き換えます。ここで、は「

{あなた}_{t} + {あなた}_{バツ} + あなた {あなた}_{バツ} - {あなた}_{バツ バツ t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$

u u_{x}

$uu_x$

U u_{x}

$Uu_x$

U

$U$

。」

u

$u$

だから私の質問は2つあります：

1：この方法を解釈する方法となぜそれが機能しない（しない）のか？

2：項を項で置き換えることもできます。ここで、は「局所的に一定の値を表すと見なされます」？ $uu_x$ $uU_x$ $U_x$ $u_x$

参考文献

Eilbeck、JC、およびGR McGuire。「正則化された長波方程式の数値的研究I：数値的方法。」Journal of Computational Physics 19.1（1975）：43-57。

— 猟師
ソース

1

方程式を間違って入力しました。この論文の方程式はRLW方程式です。

— オメル

3

：完全な答えのない関連の質問、scicomp.stackexchange.com/q/8717/713、mathoverflow.net/q/186760、scicomp.stackexchange.com/q/16142、scicomp.stackexchange.com/q/6863。私は、ヒューリスティックに言えば、非常に高い周波数モード（エラーが発生するメッシュ間隔の波長）の安定性に関心があるので、問題なく機能するはずですが、解自体は、はるかに低い周波数で変化します。そのため、係数を凍結して、凍結係数PDEの安定性を調査することは問題ありません。

— キリル2016年

2

Kirillがリンクしたいくつかの質問に答えました。残念ながら、RLW方程式の結果は知りませんが、解が十分に滑らかである限り、おそらく安定性を証明できます。

— David Ketcheson、2016年

1

あなたが言っていることは線形化と呼ばれます。これは、非線形PDEの分析で使用される一般的な手法です。行われることは、フォーマットで方程式をキャストすることです、

$u_t+Au=0$

ここで、Aは方程式の線形化から得られる行列です。

さて、あなたの質問に、

あなたが考えているように、それはある程度は機能しますが、他の範囲では機能しません。有用性は、安定性は線形システムでは証明できるが、非線形システムでは容易に証明できないことです。したがって、線形結果は非線形システムに拡張されます。多くの場合、特定のケースでは異なる方法が採用されています。例えば、

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

これは保存形式です。そう、

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

有限体積の意味で表されるとき、uの進化に制限を与えます。

交換を行うことのユーティリティは何ですか。波動方程式フォームから方程式を削除します。これは、解が波動方程式として動作しないことを意味します。したがって、安定性分析では、テストソリューションは完全に異なり、非物理的でなければなりません。

— ヴィクラム
ソース

2

線形化の引数について詳しく説明すると、uu_xでは、uがu_xではなく、ローカルで一定であると想定します。これは、a）uがその導関数よりもゆっくり変化すること、およびb）この特定のケースで、u_xがローカルで一定であると想定した場合、当然のことながら、uは局所的に線形であることも前提としています。つまり、より高い空間導関数はゼロであり、これは追加の近似誤差をもたらすだけでなく、方程式によっては、赤ちゃんをお風呂で捨てている可能性があることを意味します。

— ドミンゴタベラ
ソース