Epstein-Zin好みの置換の弾力性を計算する
\newcommand{\E}{\mathbb{E}} 消費シーケンスにC=(C0,C1,...)C=(C0,C1,...)C=(C_0, C_1,...)を与え、 C+t=(Ct,Ct+1,...)Ct+=(Ct,Ct+1,...)C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, ...)。ここで、Epstein-Zinの設定があるとします、 Ut(C+t)Ut=f(Ct,q(Ut+1(C+t+1)))={(1−β)C1−ρt+β(Et[U1−γt+1])1−ρ1−γ}11−ρ,Ut(Ct+)=f(Ct,q(Ut+1(Ct+1+)))Ut={(1−β)Ct1−ρ+β(Et[Ut+11−γ])1−ρ1−γ}11−ρ,\begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ U_t &= \left \{(1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \right\}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*} ここで、fffは時間アグリゲーター、qqqは条件確実性等価演算子。つまり、 f(c,q)=((1−β)c1−ρ+βq1−ρ)11−ρf(c,q)=((1−β)c1−ρ+βq1−ρ)11−ρ f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}} および qt=q(Ut+1)=(Et[U1−γt+1])11−γ.qt=q(Ut+1)=(Et[Ut+11−γ])11−γ. q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}. 置換の異時点間の弾力性が\ rho ^ {-1}であることをどのように示し ρ−1ρ−1\rho^{-1}ますか？