代替の弾力性をどのように導きますか？

2つの商品と場合、置換の弾力性は$x$$y$

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$$

私は2つのことで混乱しています。

1. なぜ単に書くのですか？私たちは何に関して差別化していますか？$d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
2. 上記の関係を示すためにそれをどのように使用しますか？

誰か説明できますか？

置換の弾力性を導き出す方法

最初のステップは、差分の定義を思い出すことです。関数がある場合、たとえば、次の場合：$f: \Bbb R^n \to \Bbb R$$f(x_1,\cdots,x_n)$

$${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$$

たとえば、

$$d\log v = \frac{1}{v}dv$$

今仮定する、その後、我々は$v = \tfrac{y}{x}$

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$$

および$v = \tfrac{U_x}{U_y}$

$$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$$

言い換えると、問題を（1）微分の定義を理解し、（2）変数の単純な変更を使用するようにすると、問題は非常に簡単になります。

あなたはそれから

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$$

サイド：

は意味のある概念であることを認識することが重要です。商ルールを適用するだけで、$d(y/x)$

$$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$$

これは理にかなっています

$$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

そして計算するなら

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

同じロジックが適用されます。$d(U_x/U_y)$

したがって、計算ツールを正しく/合法的に使用しているという意味で、はすべて明確に定義されています。$\sigma$

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置換の弾力性とは何ですか？

弾力性は、あるものが他の物の変化に対してどれだけ変化するかによって決まります。したがって、この場合、2つの商品の単一の％変化に対する2つの商品の比率の％変化です。$MRS$