Epstein-Zin好みの置換の弾力性を計算する

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$ 消費シーケンスに

C = (C_{0}, C_{1}, . . .)

$C=(C_0, C_1,...)$ を与え、

C_{t}^{+} = (C_{t}, C_{t + 1}, . . .)

$C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, ...)$ 。ここで、Epstein-Zinの設定があるとします、

\begin{aligned} U_{t} (C_{t}^{+}) & = f (C_{t}, q (U_{t + 1} (C_{t + 1}^{+}))) \\ U_{t} & = {(1 - β) C_{t}^{1 - ρ} + β {(E_{t} [U_{t + 1}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - ρ}{1 - γ}}}^{\frac{1}{1 - ρ}}, \end{aligned}

$\begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ U_t &= \left \{(1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \right\}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*}$ ここで、

f

$f$ は時間アグリゲーター、

q

$q$ は条件確実性等価演算子。つまり、

f (c, q) = ((1 - β) c^{1 - ρ} + β q^{1 - ρ})^{\frac{1}{1 - ρ}}

$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}}$ および

q_{t} = q (U_{t + 1}) = {(E_{t} [U_{t + 1}^{1 - γ}])}^{\frac{1}{1 - γ}} .

$q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}.$ 置換の異時点間の弾力性が

ことをどのように示し

ρ^{- 1}

$\rho^{-1}$ ますか？

utility elasticity

— ジャンベハラ
ソース

こんにちは。あなたの自己回答では、「誰かがより明確な/より明確なアプローチを持っているかどうかを教えてください」と書いたが、あなたは私が提案したアプローチにまったく応答しなかった。コメントはありますか？

— アレコスパパドプロス

以下にコメントしました。

— -jmbejara

回答:

$\newcommand{\dd}{\, \mathrm{d}} \newcommand{\pd}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}$ ここに私の解決策があります。誰もがよりクリーン/クリアなアプローチを持っているかどうかを教えてください。

固定（非ランダム）消費シーケンス考え。次に、異時点間置換（EIS）の弾力性はとして定義されこの図を計算するには、計算ましょうまた、 $C = (C_0, C_1,...)$

EIS = | \frac{d \ln (C_{s} / C_{t})}{d \ln M R S_{s, t}} | = | \frac{d \ln (\frac{C_{s}}{C_{t}})}{d \ln (\frac{\partial U / \partial C_{s}}{\partial U / \partial C_{t}})} | .

$\text{EIS} = \left| \frac{\dd \ln(C_s/C_t)}{\dd \ln MRS_{s,t}}\right| = \left|\frac{\dd \ln \left(\frac{C_s}{C_t}\right)} {\dd \ln \left( \frac{\partial U/\partial C_s}{\partial U/\partial C_{t}}\right)} \right |.$

\begin{aligned} \frac{\partial U_{t}}{\partial C_{t}} & = f_{c} (C_{t}, q_{t} (U_{t + 1} (C_{t + 1}^{+}))) \\ = \frac{1}{1 - ρ} {((1 - β) C_{t}^{1 - ρ} + β q^{1 - ρ})}^{\frac{ρ}{1 - ρ}} (1 - β) (1 - ρ) C_{t}^{- ρ} \\ = (1 - β) f_{t}^{ρ} C_{t}^{- ρ} . \end{aligned}

$\begin{align*} \pd{U_t}{C_t} &= f_c(C_t, q_t(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ &= \frac{1}{1-\rho} \left( (1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho} \right)^{\frac{\rho}{1-\rho}} (1-\beta) (1-\rho) C_t^{-\rho} \\ &= (1-\beta) f_t^{\rho} C_t^{-\rho}. \end{align*}$

\begin{aligned} \frac{\partial U_{t}}{\partial C_{t + 1}} & = f_{q} \cdot \frac{d q_{t}}{d U_{t + 1}} \cdot \frac{\partial U_{t + 1}}{\partial C_{t + 1}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \pd{U_t}{C_{t+1}} &= f_q \cdot \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} \cdot \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}}. \end{align*}$ これらの部分を部分的に計算する方が簡単です。まず、次に、検討します。これは、が非ランダム、あるという事実によって単純化され最後に、これは以前の計算の結果です。副<文>この[前述の事実の]結果として、それ故に、従って、だから◆【同】consequently; therefore <文>このような方法で、このようにして、こんなふうに、上に述べたように◆【同】in this manner <文>そのような程度まで<文> AひいてはB◆【用法】A and thus B <文>例えば◆【同】for example; as an example、

f_{q} = β f^{ρ} q_{t}^{- ρ} .

$f_q = \beta f^{\rho} q_t^{-\rho}.$

\frac{d q_{t}}{d U_{t + 1}}

$\frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}}$

C

$C$

\frac{d q_{t}}{d U_{t + 1}} = q_{t}^{γ} U_{t + 1}^{- γ} = 1.

$\frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} = q_t^\gamma U_{t+1}^{-\gamma} = 1.$

\frac{\partial U_{t + 1}}{\partial C_{t + 1}} = (1 - β) f_{t + 1}^{ρ} C_{t + 1}^{- ρ},

$\pd{U_{t+1}}{C_{t+1}} = (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho},$

\begin{aligned} \frac{\partial U_{t}}{\partial C_{t + 1}} & = f_{q} \cdot \frac{d q_{t}}{d U_{t + 1}} \cdot \frac{\partial U_{t + 1}}{\partial C_{t + 1}} \\ = β f_{t}^{ρ} q_{t}^{- ρ} (1 - β) f_{t + 1}^{ρ} C_{t + 1}^{- ρ}, \end{aligned}

$\begin{align*} \pd{U_t}{C_{t+1}} &= f_q \cdot \frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} \cdot \pd{U_{t+1}}{C_{t+1}} \\ &= \beta f_t^{\rho} q_t^{-\rho} (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}, \end{align*}$ ここでおよび。これで、では、次に、差分を取る、

f_{t} = f (C_{t}, q_{t})

$f_t = f(C_t, q_t)$

q_{t} = q (U_{t + 1} (C_{t + 1}^{+}))

$q_t = q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))$

\begin{aligned} \frac{\partial U_{t} / \partial C_{t + 1}}{\partial U_{t} / \partial C_{t}} & = \frac{β f_{t}^{ρ} q_{t}^{- ρ} (1 - β) f_{t + 1}^{ρ} C_{t + 1}^{- ρ}}{(1 - β) f_{t}^{ρ} C_{t}^{- ρ}} \\ = β q_{t}^{- ρ} f_{t + 1}^{ρ} {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- ρ} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} &= \frac { \beta f_t^{\rho} q_t^{-\rho} (1-\beta) f_{t+1}^{\rho} C_{t+1}^{-\rho}} {(1-\beta) f_t^{\rho} C_t^{-\rho}} \\ &= \beta q_t^{-\rho} f_{t+1}^{\rho} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\rho}\\ \end{align*}$

\frac{p_{t + 1}}{p_{t}} = \frac{\partial U_{t} / \partial C_{t + 1}}{\partial U_{t} / \partial C_{t}} .

$\frac{p_{t+1}}{p_t} = \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t}.$

d (\frac{p_{t}}{p_{0}}) = \frac{\partial U_{t} / \partial C_{t + 1}}{\partial U_{t} / \partial C_{t}} {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1} (- ρ) d \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} .

$\dd \left(\frac{p_t}{p_0}\right) = \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-1} (-\rho) \dd \frac{C_{t+1}}{C_t}.$ したがって、次に、これをEISの定義にプラグインし、

\begin{aligned} \frac{d (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}{d (\frac{p_{t + 1}}{p_{t}})} \cdot \frac{\frac{p_{t + 1}}{p_{t}}}{\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}} & = {(\frac{\partial U_{t} / \partial C_{t + 1}}{\partial U_{t} / \partial C_{t}} {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1} (- ρ))}^{- 1} \cdot \frac{\frac{p_{t + 1}}{p_{t}}}{\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}} \\ = - \frac{\frac{C_{t + 1}}{C_{t}} \frac{p_{t + 1}}{p_{t}}}{\frac{p_{t + 1}}{p_{t}} \frac{C_{t + 1}}{C_{t}}} ρ^{- 1} = - ρ^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\dd\left(\frac{ C_{t+1}}{C_t}\right)}{\dd \left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} &= \left( \frac{\partial U_t/\partial C_{t+1}}{\partial U_t/\partial C_t} \left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-1} (-\rho) \right)^{-1} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} \\ &= -\frac{\frac{C_{t+1}}{C_t} \frac{p_{t+1}}{p_t}} {\frac{p_{t+1}}{p_t} \frac{C_{t+1}}{C_t}} \rho^{-1} = -\rho^{-1}. \end{align*}$

\begin{aligned} EIS & = | \frac{d \ln (\frac{C_{s}}{C_{t}})}{d \ln (\frac{\partial U / \partial C_{s}}{\partial U / \partial C_{t}})} | \\ = | \frac{d (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}{d (\frac{p_{t + 1}}{p_{t}})} \cdot \frac{\frac{p_{t + 1}}{p_{t}}}{\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}} | \\ = ρ^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{EIS} &= \left|\frac{\dd \ln \left(\frac{C_s}{C_t}\right)} {\dd \ln \left( \frac{\partial U/\partial C_s}{\partial U/\partial C_{t}}\right)} \right | \\ &= \left| \frac{\dd\left(\frac{ C_{t+1}}{C_t}\right)}{\dd \left(\frac{p_{t+1}}{p_t}\right)} \cdot \frac{\frac{p_{t+1}}{p_t}}{\frac{C_{t+1}}{C_t}} \right| \\ &= \rho^{-1}. \end{align*}$

— ジャンベハラ
ソース

1枚を除いて、あなたの導出を以下に示します。。期待演算子が消える理由を説明できますか？特にそうではない理由は次のとおりです：

\frac{\dd q_{t}}{\dd U_{t + 1}}

$\frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}}$

\frac{\dd q_{t}}{\dd U_{t + 1}} = q_{t}^{γ} E_{t} U_{t + 1}^{- γ}

$\frac{\dd q_t}{\dd U_{t+1}} = q_t^\gamma E_{t}U_{t+1}^{-\gamma}$

— Alex

@アレックス。固定（非ランダム）消費シーケンスを想定しているためです。時間があれば、その仮定をせずにこれをもう一度試してみたいと思います。

— jmbejara

コンパクトな表記法と微分記号大胆な扱いを使用することにより、これを大幅に短縮できると思います。 $\text{d}$

数学的には、これは2変量CES関数であるため、置換の弾力性は2つの引数間で、それらが何であれ一定であることを知っています。

f (c, q) = ((1 - β) c^{1 - ρ} + β q^{1 - ρ})^{\frac{1}{1 - ρ}} = {[h (c, q]}^{\frac{1}{1 - ρ}}

$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}} = \left[h(c,q\right]^{\frac{1}{1-\rho}}$

それから

\frac{\partial f}{\partial c} = \frac{1}{1 - ρ} {[h (c, q]}^{\frac{1}{1 - ρ} - 1} \cdot h_{c}

$\frac {\partial f}{\partial c} = \frac{1}{1-\rho}\left[h(c,q\right]^{\frac{1}{1-\rho}-1}\cdot h_c$

そして

\frac{\partial f}{\partial q} = \frac{1}{1 - ρ} {[h (c, q]}^{\frac{1}{1 - ρ} - 1} \cdot h_{q}

$\frac {\partial f}{\partial q} = \frac{1}{1-\rho}\left[h(c,q\right]^{\frac{1}{1-\rho}-1}\cdot h_q$

そう

\frac{\partial f / \partial c}{\partial f / \partial q} = \frac{h_{c}}{h_{q}} = \frac{(1 - β)}{β} \cdot (c / q)^{- ρ}

$\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q} = \frac{h_c}{h_q} = \frac {(1-\beta)}{\beta}\cdot (c/q)^{-\rho}$

さらに

\ln (\frac{\partial f / \partial c}{\partial f / \partial q}) = \ln \frac{(1 - β)}{β} - ρ \ln (c / q)

$\ln \left(\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right) = \ln\frac {(1-\beta)}{\beta} -\rho\ln (c/q)$

⟹ d [\ln (\frac{\partial f / \partial c}{\partial f / \partial q})] = - ρ \cdot d \ln (c / q)

$\implies \text{d}\left[\ln \left(\frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right)\right] = -\rho\cdot \text{d}\,\ln (c/q)$

最初の項は定数だからです。最後に

EIS = | \frac{d \ln (c / q)}{d \ln (\frac{\partial f / \partial c}{\partial f / \partial q})} |

$\text{EIS} = \left|\frac{\text{d}\, \ln \left(c/q\right)} {\text{d}\, \ln \left( \frac{\partial f/\partial c}{\partial f/\partial q}\right)} \right |$

= | \frac{d \ln (c / q)}{- ρ \cdot d \ln (c / q)} | = ρ^{- 1}

$=\left|\frac{\text{d}\, \ln \left(c/q\right)} {-\rho\cdot \text{d}\,\ln (c/q)} \right | = \rho^{-1}$

友人に数学者を話さないで、ライプニッツに話してください。

— アレコスパパドプロス
ソース

これは間違いなくきれいです。私の唯一の懸念は、技術的には、これが今日の消費と継続値間の代替の弾力性を与えるように見えることでした。これは、今日の消費と明日の消費間のEISと同じであることが判明しましたが、Epstein-Zinの好み（および一般的には再帰的な好み）についてコメントするのに十分な気がしません。これがいつ一般的かそうでないかについて。

c

$c$

q

$q$

C_{t}

$C_t$

C_{t + 1}

$C_{t+1}$

— -jmbejara

@jmbejara確かに、CES仕様（シンボルに付ける解釈に関係なく数学的構造である）をと、それに対する「置換の弾力性」は必然的に 2つの引数（実際にはと間で計算されます。

C_{t}

$C_t$

q_{t}

$q_t$

— アレコスパパドプロス