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構造複雑性理論

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結果どのようなもの
我々は知っているL⊆NL⊆PL⊆NL⊆P\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}とそのL⊆NL⊆L2⊆L⊆NL⊆L2⊆\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq polyLpolyL\mathsf{polyL}、L2=DSPACE(log2n)L2=DSPACE(log2⁡n)\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)。また、polyL≠PpolyL≠P\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}後者は、対数空間の多対1削減の下で完全な問題を抱えているのに対し、前者はそうではないからです（空間階層定理のため）。間の関係を理解するために、polyLpolyL\mathsf{polyL}とPP\mathsf{P}、それが第一の関係を理解するのを助けることができるL2L2\mathsf{L}^2及びPP\mathsf{P}。 結果どのようなものL2⊆PL2⊆P\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}？ どのような強い程度Lk⊆PLk⊆P\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}のためk>2k>2k>2、またはより弱いL1+ϵ⊆PL1+ϵ⊆P\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}のためのϵ>0ϵ>0\epsilon > 0？
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アルゴリズムと構造複雑性理論
計算複雑度理論、特に「構造」複雑度理論の多くの重要な結果には、一部の人にとって効率的なアルゴリズムまたは通信プロトコルを提供するアルゴリズムの結果から基本的に以下のように理解できる興味深い特性があります... 問題。これらには次のものが含まれます。 IP = PSPACEは、対話型プロトコルをシミュレートするスペース効率の良い再帰アルゴリズムと、完全に定量化されたブール式を評価するための効率的な対話型プロトコルに従います。実際、複雑度クラスの同等性A = Bは、2つの効率的なアルゴリズム（Bに関して効率的なAの問題のアルゴリズム、およびその逆）から次のように見ることができます。 ある問題のNP完全性を証明することは、NP完全問題を減らすための効率的なアルゴリズムを見つけることです。 （おそらく！）時間階層定理の重要な要素は、チューリングマシンの効率的なユニバーサルシミュレーションです。 ACC NEXPのRyan Williams の最近の結果は、ACC回路の回路充足可能性を解決するための効率的なアルゴリズムに基づいています。 ⊅⊅\not \supsetPCP定理は、効率的なギャップ増幅は、制約充足問題のために可能であるということです。 などなど 私の質問（おそらく絶望的に曖昧です！）は次のとおりです：効率の面で自然な解釈を持つことが知られていない（相対化障壁のような「メタ結果」とは異なる）構造複雑性理論に重要な結果はありますかアルゴリズム（または通信プロトコル）？
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PSPACEを多項式階層から分離する最小の複雑度のオラクルは何ですか？
バックグラウンド P S P A C E A ≠ P H AであるようなオラクルAが存在することが知られています。AAPSPACEA≠PHAPSPACE^A \neq PH^A ランダムな神託に関連して分離が成立することさえ知られています。非公式には、これをP S P A C EPSPACEPSPACEとP HPHPHが別々の多くのオラクルがあることを意味すると解釈するかもしれません。 質問 P S P A C EPSPACEPSPACEとP Hを分離するこれらのオラクルはどれほど複雑ですかPHPH。特に、OracleあるA ∈ D T I M Eは、（2 2 N）A∈DTIME(22n)A \in DTIME(2^{2^{n}})ように、 P S P A C E A ≠ P H APSPACEA≠PHAPSPACE^A …
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アルゴリズムの正確なシミュレーションの難易度、および複雑度クラスの関連操作
ティーザー ここでは問題が長引くため、その本質を捉える特別なケースがあります。 問題： Aを3-SATの決定的アルゴリズムとする。（問題のすべてのインスタンスで）アルゴリズムAを完全にシミュレートする問題です。P-Spaceハード？ （より正確には、このタスクがP-Spaceハードであると信じる理由があり、この方向に標準的なCC推測に従って何かを行い、このタスクが推定される複雑なクラスXに対してXハードであることを証明したいNPを厳密に超えてください。） 関連する質問：are-pspace-complete-problems-inherently-less-tractable-than-np-complete-problems ; 編集の更新：「Aを完全にシミュレートする」ためのさまざまな解釈があります。そして、解釈によって異なる興味深い答えがあるかもしれません。（また、Ryan Williamsは、非決定論的アルゴリズムをシミュレートするための解釈を提案しました。）決定問題を計算タスク「Completely A」に関連付ける特定の方法について、Joe Fitzsimonsは、この関連決定問題がまだNPにあるアルゴリズムAを見つけました。「完全にシミュレートする」とは、特定のステップでコンピューターのレジスター全体を出力できることを指す場合、Joeのアルゴリズムではが必要なようです。このバージョンについて（私は思うが、確信はない）ライアンの答えはiiiPNPPNPP^{NP}PNPPNPP^{NP}-hardness引数。ジョーは、レジスター全体を提供する必要がある場合（これは意思決定の問題ではありません）、ステップアップする必要があることは驚きではなく、複雑さのクラスは同じではないと述べました。 とにかく、所定のステップでレジスターの状態を出力する必要がある場合、RuanとJoeの答えは、が本質的にことを示唆します（しかし、それについてはわかりません）。この解釈により、演算は多項式階層で1ステップ高くなり、iiiNP+NP+NP^+PNPPNPP^{NP}PH+=PHPH+=PHPH^+ =PHます。 いずれにせよ、これらの解釈による私のティーザーの質問への答えはNOですです。 「アルゴリズムAを完全にシミュレートする」ことを念頭に置いて、より抜本的な解釈をしました。（しかし、おそらくジョーとライアンの解釈はより興味深い。）「アルゴリズムAを完全にシミュレートする」ことによる私の解釈は、すべてのステップレジスターの状態をアウトアウトすることです。特に、アルゴリズムが多項式でない場合、出力も多項式ではありません。この抜本的な解釈のもとで、すべてのアルゴリズムAについて、はP-SPACEのハードであり、何を証明できると信じるべきか疑問に思いました。iiiCACAC_A 動機： この質問は、PapadimitriouとSavaniの論文を説明するPaul Goldbergの講演（スライド、ビデオ、論文）によって動機付けられました。彼らは、Lemke-Howsonアルゴリズムによって計算される平衡を見つけるためにP空間が完全であることを示しました。平衡点を見つけるための問題は、PPAD完了のみです。このギャップは非常に驚くべきものであり、同様の結果は、Papadimitriuの有名な論文：The Parity of the Parity Argument and Other Inefficient of Existence（1991）ですでに説明されています。（PPAD完全問題はNP困難でさえないことが知られています（ひどいことが起こらない限り、これはP空間と比較して複雑さの世界でずっと下にあります）。 質問は何ですか 私の質問は、より古く、より古典的な計算の複雑さの問題に対する同様のギャップについてです。（たぶん、これはすでにおなじみです。） 計算上の問題を考えると、3つの問題を区別できます。 a）問題をアルゴリズム的に解決する b）特定のアルゴリズムAと同じソリューションに到達する c）アルゴリズムA全体のシミュレーション もちろんc）は少なくともb）と同じくらい硬く、それは少なくともa）と同じくらい硬いです。上記の結果は、平衡計算の問題に対するタスクa）とb）の計算の難しさの間のギャップを示しています。他の計算問題の状況（および主にa）とc）のギャップ）を理解したいと思います。 質問： 質問の基本形と例 計算問題、問題Xから始めます 例は 問題X：n変数でSATのインスタンスを解く 私たちも指定します A：問題Xを実行するアルゴリズム そして、私たちは新しい問題を提起します 問題Y：アルゴリズムAを正確にシミュレートする 元の問題Xを解決するすべてのアルゴリズムAについて、そのような問題Yのクラスを理解したいと考えています。 be）アルゴリズムAを自由に選択できる場合。 複雑度クラスで提案されている操作 計算タスクによって記述される複雑度クラス始めます。この計算タスクのすべてのインスタンスを実行するアルゴリズムAが与えられた場合、Aを完全にシミュレート計算タスクによって記述される新しい複雑度クラスを考えます。次に、（できれば）複雑度クラスの「理想」を定義できます。CCCCACAC_AAAA C+={CA:C+={CA:C^+ = …
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vs
私たちの最近の仕事では、コンビナトリアルコンテキストで発生した計算問題を解決します。で、はバージョン。私たちが見つけたに関する唯一の論文は、Complexity Zooで引用されているBeigel-Buhrman-Fortnow 1998論文でした。完全問題（この質問を参照）のパリティバージョンを取ることができることを理解していますが、おそらくそれらの多くはでは完全ではありません。 EXP≠⊕EXPEXP≠⊕EXP\mathsf{EXP} \ne \mathsf{\oplus{}EXP}⊕EXP⊕EXP\mathsf{\oplus{}EXP}EXPEXP\mathsf{EXP}⊕P⊕P\mathsf{\oplus{}P}⊕EXP⊕EXP\mathsf{\oplus{}EXP}NEXPNEXP\mathsf{NEXP}⊕EXP⊕EXP\mathsf{\oplus{}EXP} 質問：と信じる複雑な理由はありますか？中に完了している自然な組合せ問題がある ⊕EXP≠⊕EXPEXP≠⊕EXP\mathsf{EXP} \ne \mathsf{\oplus{}EXP}？欠落している可能性のある参照はありますか？ ⊕EXP⊕EXP\mathsf{\oplus{}EXP}
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無限に多くの文字列が除外されたNP完全言語のポリタイムスーパーセット
任意のNP完全言語では、その補数も無限であるポリタイムスーパーセットが常に存在しますか？ スーパーセットが無限の補数を持つことを規定していない些細なバージョンが/cs//q/50123/42961で求められています この質問の目的のために、と仮定できます。Vorが説明したように、P = N Pの場合、答えは「いいえ」です。（もしP = N Pは、X = { X | X ∈ N + ∧ X > 1 } NP完全で明らかのないスーパーセットがありません。Xの補数として無限であり、無限の補数を有し、Xが唯一有し単一の要素。）したがって、P ≠ N Pの場合に焦点を合わせることができます。P≠NPP≠NPP \ne NPP=NPP=NPP = NPP=NPP=NPP = NPX={x∣x∈N+∧x>1}バツ={バツ∣バツ∈N+∧バツ>1}X = \{x \mid x \in \mathbb{N^+} \land x > 1\}XバツXXバツXP≠NPP≠NPP \ne NP
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密度の異なる言語間の削減？
言語Xの密度は関数d Xです。N → Nは、として定義されます 仮定とある有限アルファベット以上の言語であり、多くのワン・ログ・スペースが減少する、及びでない。関数は、すべてのに対して多項式およびが存在する場合、多項式的に関連していますXXXdX:N→NdX:N→Nd_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}A B A B B L = DSPACE （log n ）f 、g ：N → NdX(n)=|{x∈X∣|x|≤n}|.dX(n)=|{x∈X∣|x|≤n}|.d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.AAABBBAAABBBBBBL=DSPACE(logn)L=DSPACE(log⁡n)\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)f,g:N→Nf,g:N→Nf,g \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}Q N ∈ Npppqqqn∈Nn∈Nn\in \mathbb{N}。f(n)≤p(g(n))f(n)≤p(g(n))f(n) \le p(g(n))および。g(n)≤q(f(n))g(n)≤q(f(n))g(n) \le q(f(n)) の密度がの密度に多項式的に関連していない場合、からへの対数空間の縮小はありますか？B B AAAABBBBBBAAA バックグラウンド 答えはノーだと思いますが、現在これを表示することはできません。 明らかに、がにある場合、からへのログスペースの削減はありません。そのため、明確な否定的な答えを提供できる例がいくつかあります。L …
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交替は
ましょ交替性チューリング機械によって決定された言語のクラスであり、その時間の停止F （N ）空間の使用G （nは）。LET A A L T S P（F （N ）、G （nが））停止を使用することを交替性チューリング機械によって決定された言語のクラスであるFを（ATISP(f(n),g(n))ATISP(f(n),g(n))\mathsf{ATISP}(f(n), g(n))f(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n)AALTSP(f(n),g(n))AALTSP(f(n),g(n))\mathsf{AALTSP}(f(n), g(n))交替とスペース g （n ）。f(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n) Ruzzo はことを証明しました。彼はまた、示されたN C K ⊆ A A L T S P（ログKを N 、ログN ）⊆ N CのK + 1。NCk=ATISP(logkn,logn)NCk=ATISP(logk⁡n,log⁡n)\mathsf{NC}^k = \mathsf{ATISP}(\log^k n, \log n)NCk⊆AALTSP(logkn,logn)⊆NCk+1NCk⊆AALTSP(logk⁡n,log⁡n)⊆NCk+1\mathsf{NC}^k \subseteq \mathsf{AALTSP}(\log^k n, \log n) \subseteq \mathsf{NC}^{k + 1} …
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同型予想は、証人密度の指数的下限を示唆していますか？
BermanとHartmanis の同型予想は、すべての個の完全な集合は互いに多形時間同型であると述べています。つまり、N P完全な問題は、多項式の時間計算可能で可逆の全単射によって互いに効率的に削減できます。推測は、P ≠ N Pを意味します。NPNPNPNPNPNPP≠NPP≠NPP\neq NP 同形性の予想は、充足可能性の問題が密であるため、完全集合の密度の指数的下限を意味します。それは、N P完全集合の証人の密度の指数的下限も意味するのかと思います。NPNPNPNPNPNP 同型予想は、証人密度の指数的下限を示唆していますか？完全な問題がF e w Pに存在できないことを意味しますか？NPNPNPFewPFewPFewP 私が知っている最良の結果は次のとおりです： 場合およびN P = E X P次に同型推測が成り立ちます。P=UPP=UPP=UPNP=EXPNP=EXPNP=EXP 密度組のSは、以下の長さの文字列の数を意味するN言語です。セットSは、密度がD = Ω （2 n ϵ）である場合、いくつかのϵ > 0で、無限に多くのnであり、D =である場合、スパースです。DDDSSSnnnSSSD=Ω(2nϵ)D=Ω(2nϵ)D=\Omega(2^{n^\epsilon})ϵ>0ϵ>0\epsilon \gt 0nnnDDD。O(poly(n))O（poly（ん））O(poly(n))
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