同型予想は、証人密度の指数的下限を示唆していますか？

BermanとHartmanis の同型予想は、すべての完全な集合は互いに多形時間同型であると述べています。つまり、完全な問題は、多項式の時間計算可能で可逆の全単射によって互いに効率的に削減できます。推測は、意味します。 $NP$ $NP$ $P\neq NP$

同形性の予想は、充足可能性の問題が密であるため、完全集合の密度の指数的下限を意味します。それは、完全集合の証人の密度の指数的下限も意味するのかと思います。 $NP$ $NP$

同型予想は、証人密度の指数的下限を示唆していますか？完全な問題ができないことを意味しますか？ $NP$ $FewP$

私が知っている最良の結果は次のとおりです：

場合および次に同型推測が成り立ちます。 $P=UP$ $NP=EXP$

密度組の以下の長さの文字列の数を意味する言語です。セットは、密度が場合、いくつかので、無限に多くのあり、 =である場合、スパースです。 $D$ $S$ $n$ $S$ $D=\Omega(2^{n^\epsilon})$ $\epsilon \gt 0$ $n$ $D$ 。 $O(poly(n))$

cc.complexity-theory structural-complexity

— ムハンマドアルトルキスタニー
ソース

セットの証人密度

のために証人の最大数に依存

全上

。

X

$X$

x

$x$

x \in X

$x \in X$

— Mohammad Al-Turkistany

ありそうにない。同型予想が成り立ち、

または

...であるオラクルを構築するのは興味深いでしょう（この構築では、

を作成すると、少し難しくなることに注意してください。同型予想を得るには、

が必要ですが、ジョセフ・ヤング予想に関する別の方法も必要です。）

N P = U P

$NP=UP$

N P = F e w P

$NP=FewP$

N P = U P

$NP=UP$

P \neq U P

$P \neq UP$

— Joshua Grochow

それがすぐにどうなるかはわかりません。同型推論は言語に関するものであり、NP検証者の証人の構造には何の影響もないようです。（すべての言語には無限に多くの異なる検証機能があり、これらの検証機能を不正に実行する可能性があります。）

しかし、あなたの質問は、次の同型予想の強化について、非常に自然な興味深い質問を明らかにします。

「NP完全集合のすべての検証子は、ポリタイム同型ですか？」

すなわち、我々は、ポリタイム同型ではないだけ欲しい任意の二つのNP完全言語間の検証によって定義されたするだけでなく、同型入力証人の彼らのセット間を同型尊重対。（注：これを正式に定義する方法は複数あります。）すべて $\phi_{L,L'}$ $L,L'$ $V,V'$ $\psi_{V,V'}$ $\phi_{L,L'}$ $NP$ -硬さの証明は、この種の1対1の対応も提供できると思います。このより強力な「証人同型予想」は、あなたの質問に対するある種のはい答えを意味します。

Googleですばやく検索（「証人同型予想」と入力）すると、この種の質問に対するいくつかのアプローチの調査が見つかりました。

エリック・アレンダー。コンプリートセットの構造に関する調査。計算の複雑さの展望：Somenath Biswas Anniversary Volume、Springer、2014年

— ライアン・ウィリアムス
ソース

+1非常に興味深い。あなたの提案に続いて、グーグルしました、そして私はこの論文、ウィットネス同型簡約と局所探索問題を見つけました。これは必要な証人同型の一種ですか？

— Mohammad Al-Turkistany

面白い！あなたはすべてのためにすることを言いたいか

であること

-complete、そこに存在する検証の

と互換性の同型

？それとも、検証者

すべてのペアについて、互換性のあるisosが存在しますか？特に互換性のあるISOの概念は両方向で節約を意味するため、2番目の質問は簡単に改ざんされます。SATには検証

を使用し、次に

L, L^{'}

$L,L'$

N P

$\mathsf{NP}$

V, V^{'}

$V,V'$

ϕ_{L, L^{'}}, ψ_{V, V^{'}}

$\phi_{L,L'}, \psi_{V,V'}$

V, V^{'}

$V,V'$

V

$V$

内のすべての証人を受け付けるSATための検証である

。

V^{'}

$V'$

{{0, 1}^{n} w | V (w) = 1}

$\{\{0,1\}^n w | V(w)=1\}$

— Joshua Grochow 2015年

さて、些細な反例を避けるために、予想をどのように定式化するかに注意する必要があります。グーグルによって私が最初ではないことが明らかになったので、これについて10分以上考えた人の作品を読むことをお勧めします:)

— ライアンウィリアムス

ライアン、あなたの推測は非常に重要だと思います。ベルマンとハートマニスの標準的な同型予想より証明するのは簡単かもしれません。あなたの推測は、すべてのNPセットに普遍的な検証者が存在することを示唆していると思います。

— Mohammad Al-Turkistany