アルゴリズムと構造複雑性理論

計算複雑度理論、特に「構造」複雑度理論の多くの重要な結果には、一部の人にとって効率的なアルゴリズムまたは通信プロトコルを提供するアルゴリズムの結果から基本的に以下のように理解できる興味深い特性があります... 問題。これらには次のものが含まれます。

IP = PSPACEは、対話型プロトコルをシミュレートするスペース効率の良い再帰アルゴリズムと、完全に定量化されたブール式を評価するための効率的な対話型プロトコルに従います。実際、複雑度クラスの同等性A = Bは、2つの効率的なアルゴリズム（Bに関して効率的なAの問題のアルゴリズム、およびその逆）から次のように見ることができます。
ある問題のNP完全性を証明することは、NP完全問題を減らすための効率的なアルゴリズムを見つけることです。
（おそらく！）時間階層定理の重要な要素は、チューリングマシンの効率的なユニバーサルシミュレーションです。
ACC NEXPのRyan Williams の最近の結果は、ACC回路の回路充足可能性を解決するための効率的なアルゴリズムに基づいています。 $\not \supset$
PCP定理は、効率的なギャップ増幅は、制約充足問題のために可能であるということです。
などなど

私の質問（おそらく絶望的に曖昧です！）は次のとおりです：効率の面で自然な解釈を持つことが知られていない（相対化障壁のような「メタ結果」とは異なる）構造複雑性理論に重要な結果はありますかアルゴリズム（または通信プロトコル）？

cc.complexity-theory structural-complexity

— アシュリー・モンタナロ
ソース

複雑さは本当にアルゴリズムの力を理解することだと思うので、答えが「いいえ」であることを願っています！はないPARITYはほとんど資格があると言っていましたが、今はそうは思いません。あなたは、大きなサイズのブローアップ（せずに、回路の2つの行を交換し、それも（デランダム化することができます無作為化アルゴリズムとしてスイッチング補題を表示することができeccc.hpi-web.de/report/2012/116）。

A C^{0}

$AC^0$

— ジョシュアグロチョウ

AshleyMontanaro：おそらく、複雑さの理論は、「定義により」アルゴリズムの（時間/空間）効率にリンクしているのでしょう。効率性から離れるとすぐに、停止する問題の決定不能などの基本的な結果が見つかりますが、「複雑さ」の領域にはもういません。しかし、部分的な答えをしようとすると、複雑性クラスの論理特性は、「アルゴリズム」に（直接）結び付けられない異なる視点を与える重要な結果だと思います。

— マルツィオ・デ・Biasi

特に、実存的な二次論理の観点からNPの記述的特性化をリストアップしました。これは純粋に表現力に関するものであり、主にアルゴリズムに関するものではありません。しかし、クールセルの定理は、この区別が現実的でないことを示唆しています。

— スレシュヴェンカト

AC0にないPARITYのRazborov-Smolensky証明には、そのコアにアルゴリズム結果が含まれていると言えますか？また、量子コンピューターはクエリの順不同検索の問題を解決できないと言っているクエリの複雑さの下限についてはどうでしょうか？

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

— ロビンコタリ

参照cstheory.stackexchange.com/questions/3229/...

— sdcvvc

代数的複雑性の多くの下限については、効率的なアルゴリズムの観点から自然な解釈を知りません。例えば：

NisanとWigdersonの偏微分法
MignonとRessayreのヘッシアン級の手法（現在最もよく知られているパーマネント対決定因子の下限を与える）
Strassen（およびBaur-Strassen）の学位限界
Ben-Orの接続コンポーネント技術。

上記のすべての結果で、彼らは実際に関連する関数のプロパティを使用しているように見えますが、そのプロパティ自体は特定のアルゴリズムの存在とは無関係であるようです（有効なアルゴリズムは言うまでもありません）。

非代数的結果については、いくつかの考えがあります。

ソート下限の標準カウント引数は、効率的なアルゴリズムの観点から解釈されていないようです。ただし、この下限[1]の敵対バージョンがあります。このアルゴリズムには、比較をあまり使用しない決定ツリーが与えられた場合に、決定ツリーが誤ってソートするリストを効率的に構築するアルゴリズムがあります。しかし、敵対的なバージョンは難しくはありませんが、カウントの証明よりもはるかに困難です。（これは、[1]で敵自身が効率的であるため、たとえばこれらのノートのように敵の下限手法を適用することによって得られるものよりもかなり強いことに注意してください。） $n \log n$
はないPARITY （@RobinKothariが指摘したRazborov-Smolenskyの証明はもちろんのこと、元の証明でさえも）について考えを変えたと思います。スイッチング補題は、サイズを大きく拡大することなく、回路の2つの行を交換できるランダム化された（または決定論的な）アルゴリズムと見なすことができますが、これは、複雑さ、特にあなたが引用するもの。たとえば、が特定の問題に対する適切なアルゴリズムの存在に決定的に基づいているというウィリアムズの証明。対照的に、スイッチング補題のようなものを非構造的に証明できれば、ではなくPARITYを証明するのと同じくらい良いでしょう。 $AC^0$ $ACC \neq NEXP$ $AC^0$

これらの最後の2つの例、特に標準証明が非構成的なソートの場合、問題は効率的なアルゴリズムに関する自然な解釈だけでなく、さまざまな証明の建設性/有効性に関するものであるように思えます複雑さの結果（OPの意図に応じて）。つまり、標準のソート下限は建設的またはアルゴリズム的ではありませんが、同じ結果の建設的、アルゴリズム的証明があります。

[1] Atallah、MJおよびKosaraju、SR 分類のための敵対者の下限。通知する。手続きレット。13（2）：55-57、1981

— ジョシュア・グロチョウ
ソース