タグ付けされた質問 「semidefinite-programming」

Arora-Kale SDPソルバーがほぼ線形時間でGoemans-Williamson緩和を近似する方法、Plotkin-Shmoys-Tardosソルバーがほぼ線形時間で分数の「パッキング」および「カバー」問題を近似する方法、およびアルゴリズムがどのように「専門家から学ぶ」抽象的なフレームワークのインスタンス化です。 ケールの論文には優れたプレゼンテーションがありますが、抽象的なフレームワークに直接ジャンプすることは非常に難しいと思います。何をすべきかが絶対に明らかな単純な問題の例から始めて、より一般的な問題に移りたいと思います、アルゴリズムとその分析に「機能」を徐々に追加します。 例えば： Plotkin-Shmoysは、重みのない頂点カバーの線形計画緩和をどのように解決しますか？重み付き頂点カバー？カバーをセットしますか？二部一致？ Arora-Kaleアルゴリズムが何か面白いことをしている最も単純な例は何ですか？グラフのラプラシアンの最大固有値をどのように計算しますか？ （ラプラシアンの最大固有値を計算することは、Max CutのGoemans-Williamson SDP緩和の弱いバージョンを解く問題に相当します。各ベクトルの長さを1つにする代わりに、平方和を求めます。 | V |となる規範の）

34 ds.algorithms  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  semidefinite-programming 

私は、どのタイプの（連続）数学プログラム（MP）を効率的に解くことができ、どのタイプはできないかについて、連続最適化の文献とTCSの文献にかなり混乱しています。継続的最適化コミュニティは、すべての凸型プログラムを効率的に解くことができると主張しているようですが、「効率的」の定義はTCSの定義と一致しないと思います。 この質問はここ数年私を悩ませており、明確な答えを見つけることができないようです。多項式時間で正確に解くことができるMPのクラス、およびその手段によって、これを一度解決するのに役立つことを願っています。そして、多項式時間で正確に解けないMPの最適解を近似することについて何が知られていますか？ 以下に、この質問に対する不完全な回答を示しますが、これは一部の場所でも間違っている可能性があります。そのため、間違っている箇所を確認して修正してください。また、答えられないいくつかの質問も述べています。 楕円体法または内点法を実行し、その後、丸め処理を実行することにより、線形計画法を多項式時間で正確に解くことができることは誰もが知っています。線形プログラミングは、「分離オラクル」を提供できる限り、任意の超大量の線形制約を持つLPファミリーに直面する場合、変数の数の時間多項式で解くことさえできます。 、そのポイントが実行可能かどうかを決定するか、実行可能なポイントの多面体からポイントを分離する超平面を出力します。同様に、これらのLPの双対に分離アルゴリズムを提供する場合、任意の超大量の変数を持つLPファミリーに直面するときの制約の数における時間多項式の線形計画法。 楕円体法は、目的関数の行列が正（半？）定である場合に、多項式時間で2次プログラムを解くこともできます。私は、分離オラクルのトリックを使用することにより、信じられないほどの数の制約を処理している場合、これを行うこともできると考えています。本当？ 最近、半正定値プログラミング（SDP）は、TCSコミュニティで多くの人気を得ています。内点法または楕円法を使用して、任意の精度でそれらを解決できます。平方根を正確に計算できないという問題のために、SDPは正確に解決できないと思います。（？）SDP用のFPTASがあると言ったら正しいでしょうか？私はどこでもそれを述べたことを見なかったので、それはおそらく正しくない。しかし、なぜ？ LPとSDPを任意の精度で正確に解くことができます。他のクラスの円錐プログラムはどうですか？楕円法を使用して、2次コーンプログラムを任意の精度で解くことができますか？知りません。 楕円体法を使用できるMPのクラスはどれですか？このようなMPは、任意の精度まで答えを与えるためにどのような特性を満たす必要があり、多項式時間で正確な解を得るためにどのような追加の特性が必要ですか？内点法についても同じ質問です。 ああ、そして最後に、コンティニュアスオプティマイザーが凸プログラムを効率的に解くことができると言っているのはなぜですか？凸プログラムに対する任意精度の答えが多項式時間で見つかるのは本当ですか？そうではないので、「効率的」の定義はどの面で私たちのものと異なるのでしょうか？ どんな貢献でも大歓迎です！前もって感謝します。

31 ds.algorithms  optimization  linear-programming  semidefinite-programming  polynomial-time 

特定の行列セットのスパンに置換行列が含まれているかどうかを判断する多項式時間アルゴリズムを見つけたいと思います。 この問題が別の複雑度クラスのものであるかどうかを誰かが知っている場合、それは同じように役立ちます。 編集：私はこのような問題が線形計画法でタグ付けされました。そのような解決策が存在する場合、それは一種の線形計画法アルゴリズムであるという強い疑念があるからです。私がこれを信じる理由は、Birkhoffポリトープの極値が正確に置換行列だからです。その後、バーコフポリトープの頂点でのみ最大化または最小化される目的関数を見つけることができる場合、関数をポリトープとベクトル部分空間の交点に制約し、多項式時間で最大化できます。この値が置換行列である場合、セットに置換が含まれていることがわかります。これらはこのテーマに関する私の考えです。 編集2：もう少し考えた後、順列行列は正確にユークリッドノルムのバーコフポリトープの要素であるように思われ、バーコフポリトープは順列行列。おそらくそれも重要かもしれません。n−−√n\sqrt{n}n×nn×nn \times n 編集3：半明確なプログラミングタグを追加しました。前回のコメントの後、線形制約付きの2次最適化アルゴリズムであるため、半明確なプログラミングソリューションが可能になると考え始めているためです。

30 cc.complexity-theory  linear-algebra  linear-programming  semidefinite-programming  polynomial-time 

近似アルゴリズムを設計する際に、半正定値プログラムに続く丸めステップが解決される場合があります。これを説明するためによく使用される例はMax-Cutです。（たとえば、Vijay Vaziraniによる近似アルゴリズムを参照してください。） Max-Cutの問題を超えて、分析に使用されるより複雑な丸めアルゴリズムと手法を説明する優れた教育資料や調査はありますか？SDP-ソリューションのベクトルが超球面上に均一に分布していない、長さが異なる、または分析を困難にする他の特性がある場合を考えています。

22 ds.algorithms  reference-request  approximation-algorithms  semidefinite-programming  csp 

これは、A。Palによる最近の質問のフォローアップです。多項式時間で半正定値プログラムを解く。 私はまだ、半正定値プログラム（SDP）の解を計算するアルゴリズムの実際の実行時間について困惑しています。ロビンが上記の質問に対するコメントで指摘したように、SDPは一般に多項式時間で解くことはできません。 SDPを慎重に定義し、原始実行可能領域がどれだけ適切に制限されているかを条件とする場合、楕円法を使用して、SDPの解決に必要な時間に多項式限界を与えることができます（セクション3.2を参照）L.Lovász、半正定プログラムおよび組み合わせ最適化）。そこに与えられた限界は、一般的な「多項式時間」であり、ここでは、より粗くない限界に興味があります。 動機は、量子分離可能性問題に使用される2つのアルゴリズムの比較から得られます（実際の問​​題はここでは関係ないので、古典的な読者の読みを止めないでください！）。アルゴリズムは、SDPにキャストできるテストの階層に基づいており、階層内の各テストはより大きなスペースで行われます。つまり、対応するSDPのサイズが大きくなります。比較したい2つのアルゴリズムは、次のトレードオフが異なります。最初のアルゴリズムでは、ソリューションを見つけるために階層のより多くのステップを登る必要があり、2番目のアルゴリズムでは、階層のステップはより高いが、より少なく登る必要があるそのうちの。このトレードオフの分析では、SDPの解決に使用されるアルゴリズムの正確な実行時間が重要であることは明らかです。これらのアルゴリズムの分析は、Navascuésなどによって行われます。中arXivの：0906.2731、彼らが書く場所： ... 個の変数と行列サイズnの SDPの時間の複雑さは（アルゴリズムの反復からわずかな追加コストが発生します）。mmmnnnO(m2n2)O(m2n2)O(m^2 n^2) で、別の紙の問題に対するこのアプローチは、最初に提案された、著者らは、同じバウンド与えるが、彼らはより慎重用語「使用算術演算の回数」の代わりに「時間の複雑さを」。 私の質問は2つあります。 どのアルゴリズム/バインドがNavascuéset alです。参照する？ Lovászの「多項式時間」という表現を、より粗くない（同じ仮定を維持する）ものに置き換えることはできますか？

17 quantum-information  semidefinite-programming  analysis-of-algorithms 

線形計画法（LP）は、楕円法またはKarmarkarのアルゴリズムのような内点法を使用して、多項式時間で正確に解くことができることを知っています。それらの多項式時間分離オラクルを設計できれば、超多項式（指数）数の変数/制約を持つLPも多項式時間で解くことができます。 半正定値プログラム（SDP）はどうですか？どのクラスのSDPを多項式時間で正確に解くことができますか？SDPを正確に解決できない場合、それを解決するためにFPTAS / PTASを常に設計できますか？これを行うことができる技術的条件は何ですか？多項式時間分離オラクルを設計できる場合、多項式時間で指数関数的な数の変数/制約を使用してSDPを解決できますか？ 組み合わせ最適化問題（MAX-CUT、グラフの色付け）で発生するSDPを効率的に解決できますか？因子内でしか解けない場合、定数因子近似アルゴリズム（Goemans-Williamson MAX-CUTアルゴリズムの0.878など）には影響しませんか？1 + ϵ1+ϵ1+\epsilon これに関する適切な参照は非常に高く評価されます。

17 linear-programming  semidefinite-programming  convex-optimization 

SDPの双対性ギャップの消失の正確な特徴を文献で見つけることはできませんでした。または、「強い双対性」はいつ成立しますか？ たとえば、ラセールとSOS SDPの間を行き来する場合、原則として2つのギャップがあります。ただし、どういうわけか、このギャップが存在しないのには、「些細な」理由があるようです。 スレーターの状態は十分であるように見えますが必要ではなく、すべての凸型プログラムに適用されます。特にSDPについては、より強力なものが真実であると期待しています。スレーターの条件を使用して、双対性ギャップの消失を証明する明示的な例があれば、私も同様に喜んでいます。

10 approximation-hardness  convex-optimization  semidefinite-programming  sum-of-squares  primal-dual 

線形目的関数と線形制約の問題を解決できるという点で、線形プログラムに精通しています。しかし、半定値プログラミングでは、線形計画ではできないことを何が解決できるのでしょうか。半定値プログラムは線形プログラムの一般化であることはすでに知っています。 また、半確定プログラミングを使用して解決できる問題をどのように認識しますか？線形計画法では解決できない半定値プログラミングが使用される典型的な問題は何ですか？ ご返信ありがとうございます。

9 linear-programming  convex-optimization  semidefinite-programming 

固有値分解に実際に反映されている2次形式に似た2次形式の2乗和の体系的な研究が存在するかどうか疑問に思います（これは、実際に大きな意味を持ちます）。質問の重要性に関連するいくつかの例。 主成分分析（PCA）。点の集合与えられるとは、行列として記述された軸の集合、...を見つけます、および説明、...、は、説明できない分散を最小化します。つまり、次の四次最適化問題を解きますxi∈Rn,i=1..kxi∈Rn,i=1..kx_i \in \mathbb{R^n}, i=1..ku1u1u_1umumu_mU∈RnxRmU∈RnxRmU \in \mathbb{R^n x R^m}ξ1ξ1\xi_1ξk,ξ∘∈Rmξk,ξ∘∈Rm\xi_k, \xi_{\circ} \in \mathbb{R^m} argminu1,..,un, ξ1,..,ξk∑i(UTξi−xi)2argminu1,..,un, ξ1,..,ξk⁡∑i(UTξi−xi)2 \mathop{argmin} \limits_{u_1,.., u_n,\ \xi_1, .., \xi_k} \sum \limits_{i} \left( U^T \xi_i - x_i \right)^2 対称性の魔法により、特異値分解による解が得られます 一般化されたPCA。PCAと同じですが、観測可能な各関連付けられた精度行列ます。問題はより複雑になります X IAi∈RnxRnAi∈RnxRnA_i \in \mathbb{R^n x R^n} xixix_i argminu1,..,un, ξ1,..,ξk∑i(AiUTξi−xi)2argminu1,..,un, ξ1,..,ξk⁡∑i(AiUTξi−xi)2 \mathop{argmin} \limits_{u_1,.., u_n,\ \xi_1, .., \xi_k} \sum \limits_{i} \left( …

9 ds.algorithms  polynomials  semidefinite-programming 

実行可能領域に有限数のランク行列のみが含まれている半確定プログラム（SDP）があります。このSDPの実行可能領域は多面体であると結論付けることができますか？111 半正定値行列の円錐の「円形」部分は、極端なランク行列によるものであるため、これは真実であると考えています。実行可能領域の「曲線」境界は、無限数の極端光線から発生する必要があります。111 結果として、このSDPは多面体の実行可能領域も持つ線形プログラムのように、多項式時間で正確に解くことができると主張できますか？

8 convex-optimization  semidefinite-programming  polytope 

私はLovaszの28ページの「半定値プログラムと組み合わせ最適化」の28ページを見ていて、グラフの独立数の次の近似値を与えます。 Z \ succ 0Z_ {ij} = 0 \ \ forall ij \ in E（G）tr（Z）= 1の最大最大u』Zあなたmaxu′Zu\max u' Z u 対象 Z≻ 0Z≻0Z\succ 0 Z私はj= 0 ∀ I J ∈ E （G ）Zij=0 ∀ij∈E(G)Z_{ij}=0 \ \forall ij\in E(G) t r （Z）= 1tr(Z)=1tr(Z)=1 SDP緩和のソリューションから独立セット（または独立セットに近いもの）を直接取得できますか？Lovaszは、SDPが完全なグラフに対してこの問題を正確に解決する唯一の既知の方法であると言いますが、それは本当ですか？ 明確化：最大カットのサイズにも同様のSDP緩和があります。Zの平方根を取得し、ランダムな丸めを行うことで完全なソリューション（サイズではなく実際のカット）を取得できます（Williamson / ShmoysのCh.6の本） ）。この問題に同様の手法があるかどうか疑問に思っています

8 ds.algorithms  graph-theory  semidefinite-programming  independent-set 

積分ギャップのサイズが特定のLP（またはSDP、しかしそれほど重要ではない）の何らかの式によって制限されていることを証明するための手法への参照が必要です。また、積分ギャップを最小化するためのテクニックが説明されている場所への参照があるとよいでしょう。私は積分ギャップの分野で新しいので、かなり巨大に見えるので、古典的な結果の説明は、何か熱いものの説明よりも好ましいです。

8 ds.algorithms  reference-request  linear-programming  semidefinite-programming  integrality-gap