半定プログラミング（SDP）の双対ギャップはいつゼロですか？

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SDPの双対性ギャップの消失の正確な特徴を文献で見つけることはできませんでした。または、「強い双対性」はいつ成立しますか？

たとえば、ラセールとSOS SDPの間を行き来する場合、原則として2つのギャップがあります。ただし、どういうわけか、このギャップが存在しないのには、「些細な」理由があるようです。

スレーターの状態は十分であるように見えますが必要ではなく、すべての凸型プログラムに適用されます。特にSDPについては、より強力なものが真実であると期待しています。スレーターの条件を使用して、双対性ギャップの消失を証明する明示的な例があれば、私も同様に喜んでいます。

— 大学院生
ソース

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正確なSDPには、より複雑な双対性の理論があります。スレーターの条件のような「特別な条件」はありません。これはラマナによるものです。（SOSに関するこれについての別の見方については、[KS12]を参照してください。）正直に言うと、私はこれらの論文を理解しようとしたことがなく、誰かが私に知らせてくれれば幸いです。

この作業の注目すべき結果の1つは、特定のSDPが実現可能かどうかをテストする問題は、それがcoNPの場合にのみNPにあることです。（しかし、専門家は問題がどちらにもないと予想しています。既知の最高の上限はPSPACEです。）

— ライアン・オドネル
ソース

非常に役立つ返信をありがとうございました！これ見てみよう！（ここ数週間、ダニエルケインと一緒にディープネットサーキットの下限についてあなたの論文を研究してきました。それはそのような教育的な論文です。LTFで何をするかについても、もっと多くのことが起こるのではないかと思っていました。 ReLUのような現実的なアクティベーション。）

— gradstudent

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min {t r (C^{T} X) : t r (A_{1}^{T} X) = b_{1}, \dots, t r (A_{m}^{T} X) = b_{m}, X ⪰ 0},

$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$

X ≻ 0

$X\succ 0$

t r (A_{i}^{T} X) = b_{i}

$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$

{X : X_{1, 1} = 1, \dots, X_{n, n} = 1, X ⪰ 0}

$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

Lasserre / Sum of Squaresの階層に関する限り、Lasserreは、多項式制約によって決定された実行可能なセットに内部ポイントがある場合、双対性ギャップはないことを示しました。この論文では、より弱い状態を見つけることができます。

— サショニコロフ
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参考にしてくれてありがとう！では、変換されたスレーターの状態もSDPに必要な状態ですか？それとも他に必要な条件はありますか？（私はすぐにあなたが参照した論文を調べますが、「弱い状態」が何を意味するのかについて何か言うことができるのではないかと思っていました。条件ですが、最初の論文の十分な条件よりも簡単ですか？）

— gradstudent

これは標準のSlater条件です。私はSDPに特化しただけです。これは、PSD制約を除くすべての制約がアフィンであるため、問題を単純化します。この状態は必要ありません。私はどちらのSoS条件も必要だとは思いませんが、「弱い」条件は内部ポイントの存在を必要としないため、確認が容易になる場合があります。

— Sasho Nikolov

ありがとう！だから必要な条件がわからないの？

— gradstudent

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強力な双対性が成立する、または{\ em all}目的関数が失敗するときの良い（私は思う...）特性があります。

半確定的な{\ em system}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

$c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

$c.$

$(P_{SD})$ $c$

$(P_{SD})$

https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf

論文はまもなくSIAM Reviewに掲載されます。私は人々がそれを好きになることを願っています:)

— 地区9
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