このSDP多面体の実行可能領域はありますか？

実行可能領域に有限数のランク行列のみが含まれている半確定プログラム（SDP）があります。このSDPの実行可能領域は多面体であると結論付けることができますか？$1$

半正定値行列の円錐の「円形」部分は、極端なランク行列によるものであるため、これは真実であると考えています。実行可能領域の「曲線」境界は、無限数の極端光線から発生する必要があります。$1$

結果として、このSDPは多面体の実行可能領域も持つ線形プログラムのように、多項式時間で正確に解くことができると主張できますか？

いいえ、有限数の実行可能なランク1行列がある場合でも、SDPの実行可能領域は多面体である必要はありません。

spectrahedronあなたのアプリケーション内のすべての時間を参照することで、すなわちグラム行列のセット、n個の単位ベクトル。これは、たとえば、MaxCutのGoemans-Williamson SDP緩和の実行可能領域です。そこを超えないことができる2 n個の中の階数1の行列S Nため、X X T ∈ S nが意味X 2は、I$S_n = \{X: X \succeq 0, X_{11} = \ldots = X_{nn} = 1\}$$n$$2^n$$S_n$$xx^T \in S_n$全てのための I、したがって X ∈ { - 1 、1 } N。$x_i^2 = 1$$i$$x \in \{-1, 1\}^n$

次に、見てみましょう。書く$S_3$

ことでシルベスターの基準、であれば、すべての主要な未成年者である場合にのみ、非負。これにより、次の不等式が得られます： x 2、y 2、z $X \succeq 0$ 最初の三つの不等式は、2×2未成年者を書くことから来る、そして最後には、の行列の書き込みから来るXを。

このセットが多面体ではないことが簡単にわかります。例えば、設定でき投影することS 3を自由変数にxは、Y 、Z、および検討Uは、= Tを∩ { （X 、Y 、Z ）：Z = 0 }。多面体セットは、正射影および半空間との交差の後も多面体のままであるため、S 3が多面体である場合、Uも同様です。しかし、U = { （x 、$T$$S_3$$x, y, z$$U = T \cap \{(x, y, z): z = 0\}$$S_3$$U$ディスクです。$U = \{(x, y, 0): x^2 + y^2 \leq 1\}$

実際、がディスクであるという直接の幾何学的な議論もあります。場合Xはベクトルのグラム行列であり、Uは、V 、W、次に設定Z = 0手段はV ⊥ wは、及び（xは、yは）の投影の座標でuがによって張られる平面上にV及びwはで表さvおよびwによって与えられる正規直交基底。以来、Uは任意の単位ベクトルとすることができる、（X 、$U$$X$$u, v, w$$z = 0$$v \perp w$$(x, y)$$u$$v$$w$$v$$w$$u$は、長さが最大 1の任意のベクトルです。$(x,y)$$1$

説明のために、ここにセット示します。 $T$

そして、ここでがディスクであることがわかります。$U$