独立セットのSDP緩和

私はLovaszの28ページの「半定値プログラムと組み合わせ最適化」の28ページを見ていて、グラフの独立数の次の近似値を与えます。

max u^{'} Z u

$\max u' Z u$ 対象

Z ≻ 0

$Z\succ 0$

Z_{i j} = 0 \forall i j \in E (G)

$Z_{ij}=0 \ \forall ij\in E(G)$

t r (Z) = 1

$tr(Z)=1$

SDP緩和のソリューションから独立セット（または独立セットに近いもの）を直接取得できますか？Lovaszは、SDPが完全なグラフに対してこの問題を正確に解決する唯一の既知の方法であると言いますが、それは本当ですか？

明確化：最大カットのサイズにも同様のSDP緩和があります。Zの平方根を取得し、ランダムな丸めを行うことで完全なソリューション（サイズではなく実際のカット）を取得できます（Williamson / ShmoysのCh.6の本））。この問題に同様の手法があるかどうか疑問に思っています

— ヤロスラフ・ブラトフ
ソース

最初の質問については、「実際の独立セット」が何を意味しているのかはわかりません。SDPは緩和であるため、SDPの最適値は上からの独立数を制限します。それらが異なる場合、SDPの最適値を達成する独立セットはありません。これは、グラフが完全でない場合に当てはまります。「実際の独立セット」に必要なものをより明確にできますか？

— 岡本芳雄

「最大の独立セットのサイズ」ではなく、最大の独立セットを取得したい

— Yaroslav Bulatov

説明をありがとうございますが、私はまだ疑問に思っています。最大カットのSDPは概算に使用されます。つまり、ランダム化された丸めは、必ずしも実際の最大カットではなく、最適なカット値に「近い」値を持つカットを提供します。同様の手法が必要な場合、本当に必要なのは、独立数に近いサイズの独立セットです。または、完全なグラフに集中していますか、それとも一般的なグラフを扱いたいですか？

— 岡本芳雄

完全グラフで最大独立集合を見つけたいのですが。ipsofactoは解決策を提供しますが、いくつかのSDPを解決する必要があります

— Yaroslav Bulatov

回答:

SDPは、完全グラフの最大独立集合問題を解決する唯一の既知の手法だと思います。独立したセットを取得するには、次のようにします。頂点が独立セットにあるかどうかを推測し、それを削除してSDPを解きます。同じ値を返す場合、この頂点のない独立したセットがあります。したがって、この頂点を他のすべての頂点に隣接させて、続行します。これにより、実際に独立したセットが得られます。

それ以外の場合は、独立セットの1つの頂点を識別したので、それを削除して残りのグラフを続行できます。

— ipsofacto
ソース

また、これは実装されていると（いくつかの最適化で）非常によく動作します：E.アルパースユルドゥルムとXiaofeiファンOrzechowski、Lovászのテータ関数の使用パーフェクトグラフ中に抽出最大安定したセット、計算の最適化とアプリケーション33、229から247、2006 。 dx.doi.org/10.1007/s10589-005-3060-5

— アンドラス・サラモン

興味深い... SDPの独立数の推定値が正確であるために完璧である必要はないようです（ここでは、mathoverflow.net / questions / 57336 /…の例を示します）。これは、より大きなクラスのグラフでも機能するはずです

— Yaroslav Bulatov

@ヤロスラフ：その通り、完璧は必要ありません。しかし、提案された戦略ipsofactoを適用する場合は、同じプロパティを持つ頂点の削除も必要になります。グラフが完全であればこの条件は自動的に満たされますが、それ以外の場合は注意が必要です。

— 岡本芳雄

Lovaszのコメントがまだ続くかどうかはわかりません。完全グラフのこの（および関連する）問題に関する最近の作業がいくつかあります。SDPを解決するのではなく、メッセージパッシングを伴うテクニックについては、次のリンクを参照してください。http：//www.cs.columbia.edu/~jebara/papers/uai09perfect.pdf

— ニコラス・ルオジ
ソース

興味深い論文ですが、max-productが完全なグラフに収束した場合、貪欲なデコードが最大の独立セットを回復することを正しく理解していますか？

— Yaroslav Bulatov、2011年

私は紙をざっと読みましたが、方法が多項式時間の完全なグラフの最大独立集合問題をどのように解決するのかわかりませんでした。完全なグラフでは最大クリークの数は指数関数的になる可能性があるため、コロラリ1および2の実行時間は多項式ではありません。セクション7の内容はあまり理解していませんが、セクション7の方法でどの線形最適化問題が解決されるのかわかりません。実験は最大マッチング問題に対して実行されますが、最大独立集合問題に対しては実行されません。

— 岡本芳雄

@yoshioそうです。（指数関数的に多くの）クリークのすべてに適切な制約を含める場合、MWISのLPは不可欠であることがわかっています。そして、それは紙が議論するクリークグラフの完全性です。著者らは、NMRFのmax-productが常に正しいMAP割り当てを生成すると推測しているようです。

— Nicholas Ruozzi

ありがとう。次に、この論文では、完全グラフの最大独立集合問題に対する多項式時間アルゴリズムは提供されていないと仮定できますか？

— 岡本芳雄

@YoshioOkamoto：そうですね。最近の論文は、このアプローチが間違ったソリューションに収束する完全なグラフの例を示しています。「MAP推定、メッセージパッシング、完全グラフの再検討」の図3（datalab.uci.edu/papers/AISTATS_perfect_graphs.pdf）

— Yaroslav Bulatov