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正直に言うと、私は（！コメントは歓迎されている）が生成される方法を乱数についてその多くを知っているが聞かせていないのは、以下の理論モデルを前提としています。私たちは、より均一にランダムな整数を得ることができます[ 1 、2 のn ][1,2n][1,2^n]と私たちの目標は、出力にあります[1,3]から一様にランダムな整数。 2n2^n2n−12^n-1[1,2n][1,2^n]33mod 3mod3\bmod 3 しかし、多項式時間で確実に終了したい場合はどうでしょうか？可分性の問題のため、問題は解決できなくなります。しかし、私は次のことを解決できるかどうか疑問に思います。 から一様にランダムに整数を生成でき、計算が難しい問題が与えられたとします。私たちの目標は、[1,3]から一様にランダムな整数を出力するか、難しい問題を解決することです。[ 1 、2 N ][1,2n][1,2^n] ここで難しい問題は、整数の因数分解、SATインスタンスの解決などです。例えば、我々は一方通行の順列デコードすることができ次のように我々はいくつか与えられている場合には、（と仮定、当社のランダムな文字列のための場合：さえある）、その後、取る、場合、ます。最後に、場合、として完了です。（が奇数の場合、同様のことが機能しますかどう確認し、場合はを減算する必要があります。）f fff （x ）f(x)f(x)n nnf （r ）< f （x ）f(r)<f(x)f(r)f(x)f （r ）− 1 mod 3 f(r)−1mod3f(r)-1\bmod 3f （r ）= f （x ）f(r)=f(x)f(r)=f(x)r = x r=xr=xn nnf （r + 1 ）= f （x）f(r+1)=f(x)f(r+1)=f(x)2 22f （r ）> f …

13 cc.complexity-theory  np-hardness  randomized-algorithms 

（多項式階層、たとえばここを参照）の定義で、N Pの役割がR Pに置き換えられるとしたらどうなるでしょうか。PHPHPHNPNPNPRPRPRP 同じよう我々はまだ階層を構築することができ、思わちょうど使用して、構築されているRのPどこでも代わりにN 、P、およびC O R Pの代わりに、C O N Pを。それをランダム化多項式階層（R P H）と呼びましょう。PHPHPHRPRPRPNPNPNPcoRPcoRPcoRPcoNPcoNPcoNPRPHRPHRPH 私の最初の推測では、ということである、または多分R P H = B P P。N P = R PはP H = B P Pを意味するという既知の事実に基づいています。それでも、P ≠ R Pの場合、R P Hは引き続きB P P内の適切な無限階層になる可能性があります。RPH⊆BPPRPH⊆BPPRPH\subseteq BPPRPH=BPPRPH=BPPRPH=BPPNP=RPNP=RPNP=RPPH=BPPPH=BPPPH=BPPP≠RPP≠RPP\neq RPRPHRPHRPHBPPBPPBPP もちろん、が推測される（P = B P Pでさえある）という事実によって、問題の端は鈍化され、これによりR P HがPに平坦化されます。ただし、P = R P は現時点では不明であり、これまでのすべての証明の試みに抵抗しています。したがって、 R …

12 cc.complexity-theory  randomized-algorithms  randomness 

量子コンピューティングの進歩により、新しい古典的なアルゴリズムが開発されました。注目すべき最近の例は、線形代数のための量子にヒントを得たアルゴリズムです： 推薦システムのための量子にヒントを得た古典的なアルゴリズム 主成分分析と教師ありクラスタリングのための量子にヒントを得た古典的なアルゴリズム 次元に対数依存性を持つ量子にヒントを得た低ランク確率回帰 低ランク線形システムを解くための量子にヒントを得た部分線形古典アルゴリズム Max 3LINの場合： 有界度の制約充足問題でランダムな割り当てを破る。 量子コンピューティングからインスピレーションを得たすべての既知の古典的なアルゴリズムのリストをコンパイルすることは非常に便利かもしれません。他にどのような例が知られていますか？

11 quantum-computing  randomized-algorithms 

私は（と関連知りたいのですが、この他の質問下限は、次のテストの問題のために知られていた場合）：1が非負の数のシーケンスに照会アクセスを与えているのn ≥ ⋯ ≥ 1とεを∈ （0 、1 ）、約束とそのいずれかΣ N K = 1、K = 1またはΣ N K = 1 K ≤ 1 - ε。an≥ ⋯ ≥ A1an≥⋯≥a1a_n \geq \dots\geq a_1ε ∈ （0 、1 ）ε∈(0,1)\varepsilon \in (0,1)∑nk = 1ak= 1∑k=1nak=1\sum_{k=1}^n a_k = 1∑nk = 1ak≤ 1 - ε∑k=1nak≤1−ε\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon （適応）のために十分かつ必要などのように多くのクエリ（検索）している確率は、少なくともで、2例を区別するためのアルゴリズムを、ランダム化？2 …

11 reference-request  randomized-algorithms  property-testing 

次の問題を考えてください。 んんnv1、⋯ 、vん∈ Rv1、⋯、vん∈Rv_1, \cdots, v_n \in \mathbb{R}S⊆{1,⋯,n}S⊆{1、⋯、ん}S \subseteq \{1,\cdots,n\}maxi∈Svi最高私∈Sv私\max_{i \in S} v_i この問題は簡単です。バイナリ検索を使用して、O （ログn ）O（ログ⁡ん）O(\log n)クエリでargmaxを見つけることができます。つまり、インデックスに対応するんnn葉を持つ完全なバイナリツリーを構築します。次のように、根から始めて葉まで歩きます。各ノードで、右サブツリーと左サブツリーの最大値をクエリしてから、答えが大きい側の子に移動します。葉に到達したら、そのインデックスを出力します。 この問題の次の騒々しいバージョンは私の研究で出てきました。 あり未知の値は。これらは、セットが指定され、からのサンプルが返されるクエリでアクセスできます。目標は、\ mathbb {E} [v_ {i_ *}] \ geq \ max_i v_i-1ができるだけ少ないクエリを使用して、を識別することです。（予想は、アルゴリズムのコインとノイズの多いクエリの回答の両方に依存するi_ *の選択を超えています。）V 1、⋯ 、V N S ⊆ { 1 、⋯ 、N } N（最大I ∈ S V I、1 ）I * ∈ { 1 …

10 approximation-algorithms  randomized-algorithms  search-problem  random-walks  binary-trees 

LET 複雑性クラスであるとBP- Cは、の無作為相手であるCとして定義BPPに対してP。より正式には、多項式で多くのランダムビットを提供し、受け入れる確率が2を超える場合に入力を受け入れます。CC\mathcal{C}BP- CBP-C\textrm{BP-}\mathcal{C}CC\mathcal{C}BPPBPP\textrm{BPP}PP\textrm{P}。2３23\frac{2}{3} 非均一回路クラスの場合、ことがわかっています。BPAC0= AC0BPAC0=AC0\textrm{BPAC}^0=\textrm{AC}^0 ミクロス・アジュタイ、マイケル・ベン・オル：確率的一定深度計算の定理STOC 1984：471-474 この定理の一般化は知られていますか？たとえば、（まだ不均一な設定になっている）かどうかはわかりますか？例えばというもっともらしいと思われるので、この最後の質問は、私に何とか非自明なようで、S 、T -ConnectivityであるBPNC 1。B P N C1= N C1BPNC1=NC1\mathrm{BPNC}^1=\mathrm{NC}^1s,t-Connectivitys,t-Connectivitys,t\textrm{-Connectivity}BPNC1BPNC1\textrm{BPNC}^1 この件に関する関連投稿：https : //mathoverflow.net/questions/35184/use-of-randomness-in-constant-parallel-time

10 circuit-complexity  randomized-algorithms 

偏りのある推定量は、偏りのない推定量が管理できるものよりも平均二乗誤差を最適化できるため、統計に役立ちます。理論CSで、偏った推定量の効果的な使用の非常に注目すべき例があるかどうか疑問に思いました。このリストは長くなる可能性があることを理解しています。長くなると、この質問を大きなリストのCW質問に変更できますが、今のところ、私は興味があります。

10 randomized-algorithms 

コルモゴロフのランダム性がRPに十分であることを示す試みはありましたか？「正解がYESの場合、確率的チューリングマシンはYESを確率で返す...」というステートメントで使用される確率は、その場合、常に適切に定義されますか？それとも、その確率には上限と下限しかありませんか？それとも、確率が明確に定義されている確率的なチューリングマシンが常に存在するだけでしょうか（少なくとも、下限は1/2より大きくなければなりません）。 ここでのクラスRPは比較的恣意的であり、コルモゴロフのランダム性よりも（疑似）ランダム性の弱い概念についてこの質問をすることもできます。しかし、コルモゴロフのランダム性は良い出発点のようです。 「確率」という言葉を理解することは、コルモゴロフのランダム性がRPで機能することを示す試みの一部です。ただし、考えられる1つのアプローチを説明し、それが何を意味するのか、そしてなぜ上限と下限について話し合ったのかを明確にしましょう。 してみましょうsss（コルモゴロフランダム）文字列です。してみましょうAAA RPからの言語に対応する与えられた確率的チューリングマシンです。ランAAAとsssランダムビットのソースとしてnnn倍が、より以前に未使用のビットを消費し続けるsss次々 。 以下のためのpsn:=#YES result in first n runs of A on snpns:=#YES result in first n runs of A on snp_n^s:=\frac{\text{#YES result in first $n$ runs of $A$ on $s$}}{n}ps+:=lim supn→∞psnp+s:=lim supn→∞pnsp_+^s:=\limsup_{n\to\infty}p_n^s、P 、S + P S - S P S + = P S - S …

10 randomized-algorithms  randomness  pseudorandomness 

確率的チューリングマシンが、確率（フリップは独立している）で表れる不当なコインにアクセスできるようにします。B P P pを、そのようなマシンが多項式時間で認識できる言語のクラスとして定義します。以下を証明するための標準的な演習です。pppB PPpBPPpBPP_p A）が有理またはB P P計算可能である場合、B P P p = B P Pです。（B P P計算可能という意味です：単項でnが供給されるランダム化された多項式アルゴリズムがあり、分母が2 nであり、pの2 − n − 1の範囲内にある2進有理数を返します。）pppB PPBPPBPPB PPp= B PPBPPp=BPPBPP_p=BPPB PPBPPBPPんnn2ん2n2^n2− n − 12−n−12^{-n-1}ppp B）一部の計算不可能な、クラスB P P pには決定不能な言語が含まれているため、B P Pよりも大きくなります。以下のような値Pがで稠密集合を形成（0 、1 ）。pppBPPpBPPpBPP_pBPPBPPBPPppp(0,1)(0,1)(0,1) 私の質問は次のとおりです：その間に何が起こりますか？基準はありますか？特に：BPPp=BPPBPPp=BPPBPP_p=BPP 1）計算できない確率pは、B P P p = B P Pのように存在しますか？（それらはいくつかのより高いクラスで計算可能かもしれません）。BPPBPPBPPpppBPPp=BPPBPPp=BPPBPP_p=BPP 2）ですより広いB P Pすべてuncomputable用のp？（問題のパラメーターは、バイナリ展開に非常に長い0または1のシーケンスが含まれているパラメーターです。この場合、ランダムサンプリングによるビットの計算には非常に長い時間がかかり、計算不可能な時間でさえ、問題を多項式時間に再スケーリングすることはできません。困難は拡張の別のベースで克服できますが、特定のpはすべてのベースをだます場合があります）。BPPpBPPpBPP_pBPPBPPBPPpppppp

10 cc.complexity-theory  randomized-algorithms  probabilistic-complexity 

このブログでは、コンピュータを使用して「ねじれた小さな迷路」を生成し、それらを列挙する方法について説明しています。列挙はUSTを取得するためにウィルソンのアルゴリズムを使用して行うことができますが、そこにいくつあるかの式を覚えていません。 http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike 原則として、マトリックスツリーの定理は、グラフのスパニングツリーの数はグラフのラプラシアンマトリックスの行列式に等しいと述べています。ましょうグラフであり、および隣接行列であり、度行列で、次にの固有値を持つ次いで、：G = （E、V）G=（E、V）G= (E,V)ああADDDΔ = D − AΔ=D−あ\Delta = D - Aλλ\lambda k （G ）= 1んΠk = 1n − 1λkk（G）=1んΠk=1ん−1λk k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k 以下の場合には矩形の両方と固有値は、私が見つけることができません特に簡単な形をとるべきです。 m × nメートル×んm \times nああA 四角形の全域木の数の正確な式（および漸近）は何ですか？m × nメートル×んm \times n これは、動作中のウィルソンのアルゴリズムのかなりの例です。

10 graph-theory  randomized-algorithms  matrices  tree 

nnnx1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots, x_nkkkn>kn>kn > kmaxi≠jVar(xTixj)maxi≠jVar(xiTxj)\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)E[xTixj]=0E[xiTxj]=0\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0 私はいくつかの分布を試しましたが、ほとんどすべての分散はです。例えば、それぞれの各座標た分布の両方独立かつ一様から選択される及び分布の各は、分散持つ次元の単位球上の独立した均一ベクトルです。1/k1/k1/kxixix_i{−1/k−−√,1/k−−√}{−1/k,1/k}\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}xixix_ikkk1/k1/k1/k されてすべてのディストリビューションの中で最小の分散を？1/k1/k1/k

10 reference-request  randomized-algorithms 

Fanoの不等式はさまざまな形で表すことができますが、特に有用なものの1つは（わずかな変更を加えて）Oded Regevによるものです。 LET XXX確率変数であり、およびlet Y=g(X)Y=g(X)Y = g(X)ここでランダムプロセスです。与えられたが確率を再構築できる手続き存在を仮定します。次に、 F 、Y = G （X ）X P I （X ; Y ）≥ P H （X ）- H （P ）g(⋅)g(⋅)g(\cdot)fffy= g（x ）y=g(x)y = g(x)バツxxppp私（X; Y）≥ のp H（X）− H（p ）I(X;Y)≥pH(X)−H(p) I(X; Y) \ge pH(X) − H(p) つまり、再構築できれば、システム内に相互情報がたくさんあります。 ファーノの不平等に対する「逆」はありますか：形の何か 「十分な相互情報を備えたチャネルを考えると、相互情報に依存するエラーのある出力から入力を再構築する手順があります。」 この手順も効率的であることを期待するには多すぎますが、再構成が存在するが非効率的でなければならない（自然な）例を見るのも興味深いでしょう。

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障害に強い分散アルゴリズムは、決定論的または確率論的のいずれかです。たとえば、コンセンサス問題を考えてみましょう。 Paxosは、仮定が与えられていれば常に機能するという意味で決定論的です。 対照的に、ランダム化されたコンセンサスは所定の確率で機能します。 決定論的アルゴリズムを設計して使用する利点は何ですか？ 決定論的アルゴリズムが依存する仮定には、現実に保持される確率（いわゆる仮定カバレッジ）もあります。したがって、決定論的アルゴリズムが実際に機能しない可能性は常にあります。

10 randomized-algorithms  dc.distributed-comp  fault-tolerance 

与えられた多項式がゼロであるかどうかをチェックする、多項式同一性テストのための多くのランダム化されたアルゴリズムがあるようです。特定のポイントセットで多項式を推定するアルゴリズムの結果はありますか？これは、たとえば、多項式がゼロに評価するこれらの点の何分の1を近似するか、またはこれらの点の多項式の平均値を近似するかなどです。ポイントのセットは、アルゴリズムに固有にすることができます。

10 ds.algorithms  approximation-algorithms  randomized-algorithms  derandomization  polynomials 

論文では、情報理論の2つの問題について、エルデスとレニーは、コインのセット内の偽コインの数を決定するために実行する必要がある最小数の重み付けに下限を与えています。nnn より正式には： 偽のコインは正しいコインよりも重量が小さいです。正しいコインと偽のコインの両方の重みとがわかっています。スケールは、任意の数ののコインを一緒に計量できる手段によって与えられます。したがって、コインの任意のサブセットを選択し、それらをスケールにまとめると、スケールはこれらのコインの総重量を示します。そこから、計量されたコインの中で偽コインの数を計算するのは簡単です。問題は、正しい硬貨と偽の硬貨を分離できる最小数の計量です。aaab&lt;ab&lt;ab < a≤n≤n\leq nA(n)A(n)A(n) 彼らが最初に提供する自明な下限は次のとおりです。 n/log2(n+1)n/log2⁡(n+1)n / \log_2 (n + 1)。 これは、さまざまな情報理論的または組み合わせの議論を通じて、なぜその理由を理解することは難しくありません。問題は、これらの計量を行うためにそのようなセットをどのように構築するかです。建設的な証明を利用して、ランダム性に依存せずにこれらの下限を達成するアルゴリズムはありますか？これらの境界を達成するランダム化されたアルゴリズムはありますか？

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