下部は、推定上の結合

私は（と関連知りたいのですが、この他の質問下限は、次のテストの問題のために知られていた場合）：1が非負の数のシーケンスに照会アクセスを与えていると、約束とそのいずれかまたは。 $a_n \geq \dots\geq a_1$ $\varepsilon \in (0,1)$ $\sum_{k=1}^n a_k = 1$ $\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

（適応）のために十分かつ必要などのように多くのクエリ（検索）している確率は、少なくともで、2例を区別するためのアルゴリズムを、ランダム化？ $2/3$

関連する問題の合計を近似する対数（）の上限と、決定論的アルゴリズムのその問題のほぼ一致する下限を与える以前の投稿を見つけました。しかし、私が検討している特定の問題（特に、ランダム化されたアルゴリズム）の結果を見つけることができませんでした。 $n$

編集：以下の答えに従って、私はより明確になっているはずだと思います：上記（および特に下限の漸近線）では、は無限に行くと見られる「主な」量であり、は（任意に小さいです））絶え間ない。 $n$ $\varepsilon$

reference-request randomized-algorithms property-testing

— クレメントC
ソース

私はあなたが意味を推測

。

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} \leq 1 - ε

$\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

— RB 14

確かに-それを修正しました。

— クレメントC. 14

さて、順序がなければ、

依存する必要があります（サンプリングの有無にかかわらず）。「悪い」インスタンス（シーケンスのペア）は、たとえば、すべて

が

に等しいシーケンスです。

n

$n$

a_{k}

$a_k$

、1（任意、ランダム）を除く

よう

いずれかに等しい

（第一の配列中）と

（秒で）。せず

、クエリ、2つの配列は...離れて伝えることができない

\frac{1 - ε}{n - 1}

$\frac{1-\varepsilon}{n-1}$

j

$j$

a_{j}

$a_j$

ε

$\varepsilon$

0

$0$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— クレメントC.

私は、クエリモデルはあなたが選択することを可能にすると仮定し

照会れる

、この権利ですか？

k

$k$

a_{k}

$a_k$

— kodlu 14

はい（「開示」したいポイントを選択できます）。

— クレメント

回答:

ここに、表示できる下限を示します。固定のためにそのI予想右下の拘束は、あるが、自然に私が間違っている可能性があります。 $\epsilon$ $\Omega( \log n)$

便宜上、減少するシーケンスを使用します。基本的なメカニズムは、シーケンスをブロックに分割することです。番目のブロックがあるとしている要素（すなわち、）。 $L$ $i$ $n_i$ $\sum_i n_i = n$

以下では、我々が欲しいのアルゴリズムは確率で成功するいくつかのパラメータについて、。 $\geq 1-\delta$ $\delta >0$

最初の下限：。 $\displaystyle \Omega\left( \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta} \right)$

番目のブロックが持っているに、要素を。番目のブロックのすべての要素の値をに設定します。ここで、はまたは変数です。明らかに、このシーケンスの合計は $i$ $n_i = 2^{i-1}$ $L = \lg n$ $i$ $(1+X_i)/(2n_iL)$ $X_i$ $0$ $1$ それ以外の場合、確率各をおよびすることを想像してください。を推定するには、信頼できる推定値が必要です。微粒子では、基数、たとえば、を区別できるようにします。

α = \sum_{i = 1}^{L} \frac{1 + X_{i}}{2 n_{i} L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 L} (\sum_{i = 1}^{L} X_{i}) .

$\alpha = \sum_{i=1}^L \frac{1+X_i}{2n_i L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2L}\left(\sum_{i=1}^L X_i \right).$

X_{i}

$X_i$

β

$\beta$

1

$1$

0

$0$

α

$\alpha$

β

$\beta$

β = 1 - 4 ϵ

$\beta = 1-4\epsilon$

β = 1

$\beta=1$

ここで、これらのランダム変数ののサンプリングを想像し、サンプリングされた変数とします。[設定] （注を、我々は和取っていることを補完変数）を、我々は、およびチャーノフの不平等を教えてくれるもしその $m$ $Z_1, \ldots, Z_m$ $Y = \sum_{i=1}^m (1-X_i)$ $\mu = E[Y] = (1-\beta) m$ は、、及び故障の確率であるこの数量を $\beta =1-4\epsilon$ $\mu = 4\epsilon m$

P [Y \leq 2 ϵ m] = P [Y \leq (1 - 1 / 2) μ] \leq \exp (- μ (1 / 2)^{2} / 2) = \exp (- ϵ m / 2) .

$P\left[ Y \leq 2\epsilon m \right] = P\left[ Y \leq (1-1/2) \mu \right] \leq \exp \left( -\mu (1/2)^2 / 2 \right) = \exp \left( -\epsilon m / 2 \right).$

、我々は必要な

δ

$\delta$

。

m \geq \frac{2}{ϵ} \ln \frac{1}{δ}

$\displaystyle m \geq \frac{2}{\epsilon} \ln \frac{1}{\delta}$

重要な点は、チェルノフの不等式はきついことです（すべてのパラメーターに対して正しいわけではありませんが、この場合は正しいため、注意が必要です）。それ以上（定数まで）を行うことはできません。

2番目の下限：。 $\Omega( \log n / \log \log n)$

$i$ $n_i = L^i$ $L = \Theta( \log n / \log \log n)$ $i$ $\alpha_i = \Bigl(1/L\Bigr)/n_i$ $1$

$j$ $\alpha_{j-1} = L \alpha_j$ $\alpha_j$ $j$ $1/L$ $1$ $2$

$L$

$p=1/2$ $1$ $L/8$ $1/8$ $L/8$

(1 - p) (7 / 8) > 7 / 16 > 1 / 3.

$(1-p)(7/8) > 7/16 > 1/3.$

$\Omega(1/\epsilon^2)$

— サリエル・ハー・ペレド
ソース

Ω (1 / ϵ)

$\Omega(1/\epsilon)$

β < 1

$\beta < 1$

β

$\beta$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

X_{i}

$X_i$

ϵ

$\epsilon$

うん。あなたが結集した場合はもちろん、その後わずか1および1-イプシロンを区別したいあなたは下...の...私は他の範囲を区別しようと考えていたバインド向上させることはできません

— サリエルのHar-Peled

下限

$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

$a_1,\dots,a_n$ $\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,4\epsilon,\dots$ $n$ $a_1+\dots+a_n = 1$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$

$a'_1,\dots,a'_n$ $\epsilon$ $a'_1=a_1$ $a'_2=a_2$ $a'_i = a_i - \epsilon$ $a'_1 + \dots + a'_n = 1-\epsilon$

$a_1,\dots,a_n$ $a'_1,\dots,a'_n$ $i$ $\Omega(n)$ $n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$ $\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

上界

$O(\lg(n/\epsilon) [\lg n + 1 / \epsilon^2])$

$[0,1]$

[0, 1] = [0, 0.25 ϵ / n] \cup (0.25 ϵ / n, 0.5 ϵ / n] \cup (0.5 ϵ / n, ϵ / n] \cup (ϵ / n, 2 ϵ / n] \cup (2 ϵ / n, 4 ϵ / n] \cup \dots \cup (\dots, 1] .

$[0,1] = [0,0.25\epsilon/n] \cup (0.25\epsilon/n,0.5\epsilon/n] \cup (0.5\epsilon/n,\epsilon/n] \cup (\epsilon/n,2\epsilon/n] \cup (2\epsilon/n,4\epsilon/n] \cup \dots \cup (\ldots,1].$

$a_i$ $a_i$ $a_i$ $[\ell,u]$ $i,j$ $a_i,\dots,a_j \in [\ell,u]$ $O(\lg(n/\epsilon))$

次に、各範囲の値の合計を推定します。最初の範囲は、他のすべてとは別に処理されます。

$[0,0.25\epsilon/n)$ $0$ $m \times 0.25\epsilon/n$ $m$ $m \le n$ $0.25 \epsilon$
$\delta$ $O(1/\delta^2)$ $2 \times$ $\delta = 0.25 \epsilon$

$0.25 \epsilon$ $0.25 \epsilon$ $\le 0.5 \epsilon$ $1$ $1-\epsilon$

— DW
ソース

ありがとう-これは興味深いように見えます（私が知る限り、それは上記のリンクされた論文/議論で使用されたものと同じアプローチではありません）、そしてあなたが書いたものをより深く見ていきます。ただし、上限ではなく下限、つまり必要なクエリの数を探しています。

— クレメントC。14年

（時間が経つにつれて、私はそれでも答えに「報奨金」を授与します-下限の参照を探していますが、もしそこにどこかがあれば。）

— Clement C.

@ClementC。、リクエストごとに下限を追加しました。

— DW

n

$n$

ε

$\varepsilon$