ベクトルの内積の分散の単位ベクトルのすべての分布の最小値はいくつですか？

$n$$x_1,\ldots, x_n$$k$$n > k$$\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$$\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

私はいくつかの分布を試しましたが、ほとんどすべての分散はです。例えば、それぞれの各座標た分布の両方独立かつ一様から選択される及び分布の各は、分散持つ次元の単位球上の独立した均一ベクトルです。$1/k$$x_i$$\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$$x_i$$k$$1/k$

されてすべてのディストリビューションの中で最小の分散を？$1/k$

同等だが簡単に見える問題の定式化を提示し、（n / k − 1）/（n −1）の下限を示します。 また、量子情報の未解決問題との関連も示します。 [リビジョン3の編集：以前のリビジョンでは、複雑なケースの類似の質問にはSIC-POVMに関する未解決の問題が含まれているため、以下に示す下限が達成されるケースの正確な特徴付けは難しいと主張しました量子情報。ただし、SIC-POVMへのこの接続は正しくありませんでした。詳細については、以下の「量子情報のSIC-POVMへの誤った接続」のセクションを参照してください。]

同等の定式化

最初に、danielloの回答ですでに指摘したように、Var（x _i ^T x _j）= E [（x _i ^T x _j）² ] − E [ x _i ^T x _j ] ² = E [（x _i ^T x _j）² ]。したがって、残りの答えでは、分散を忘れて、代わりにmax _{i ≠ j} E [（x _i ^T x _j）² ]を最小化します。

次に、目標がmax _{i ≠ j} E [（x _i ^T x _j）² ] を最小化することであると決定したら、E [ x _i ^T x _j ] = 0 の制約を無視できます。これは、単位ベクトルx ₁、…、x _nの場合、目的関数max _{i ≠ j} E [（の値を変更せずにE [ x _i ^T x _j ] = 0 を満たすために、確率1/2でそれぞれを個別に否定するx _i ^T x _j）² ]。

さらに、目的関数をmax _{i ≠ j} E [（x _i ^T x _j）² ]から（1 /（n（n -1）））∑ _{i ≠ j} E [（x _i ^T x _j）² ]に変更する最適値は変更されません。平均が最大で最大であるため、後者は最大で前者です。ただし、E（（x _i ^T x _j）² ] の値は、（i、j）（i ≠j）n個のベクトルx ₁、…、x _nをランダムに並べ替えることで等しくなります。

したがって、任意のnおよびkについて、問題の問題の最適値は（1 /（n（n -1）））∑ _{i ≠ j} E [（x _i ^T x _j）² ] の最小値に等しく、ここでx ₁、…、x _nは、variables ^kの単位ベクトルを値として取る確率変数です。

ただし、期待の線形性により、この目的関数は期待値E [（1 /（n（n −1）））∑ _{i ≠ j}（x _i ^T x _j）² ]に等しくなります。最小値は最大でも平均であるため、確率分布を考慮する必要はありません。つまり、上記の問題の最適値は、次の最適値と等しくなります。

単位ベクトルを選択し、xが₁、...、X _N ∈ℝの^kは最小にするが（1 /（N（N -1）））Σ _{I ≠ J}（X _I ^T X _J）²。

下限

この同等の定式化を使用して、最適値が少なくとも（n / k − 1）/（n −1）であることを証明します。

1≤ため私は ≤ N、聞かせてX _I = X _I、X _I ^Tは単位ベクトルに対応するランク1プロジェクタであるxは_Iを。次に、（x _i ^T x _j）² = Tr（X _i X _j）が成り立つ。

してみましょうY =Σ _I X _I。次に、∑ _{i ≠ j} Tr（X _i X _j）= ∑ _i、j Tr（X _i X _j）-n = Tr（Y ²）-nであることが成り立つ。

コーシー=シュワルツの不等式は暗示そのTrの（Y ²）≥（TR Y）² / K = N ² / K、したがってΣ _{I ≠ J} Trを（X _I X _J）= Trと（Y ²） - N ≥ N ² / k − n。n（n −1）で割ると、目的の値は少なくとも（n / k − 1）/（n −1）になります。

特に、n = k +1の場合、danielloの答えは最適値の2倍以内です。

この下限はいつ達成できますか？

この下限（n / k − 1）/（n −1）を達成することは、Y =（n / k）Iを作成することと同じです。正確な特性が得られる時期はわかりませんが、次の十分な条件があります。

• n = k +1の場合、原点を中心とする通常のkシンプレックスを形成するk +1単位ベクトルを考慮し、danielloの回答の2 /（k（k +1））から最適な1 / kに改善することで、これを達成できます。^２。
• 場合、Nの倍数であるK、それは明らかℝ用の正規直交基底固定することにより達成可能である^Kをとする基底ベクトルの各々を割り当てるN / KのV ₁、...、V _N。
• 最後の箇条書きよりも一般的には、kを選択してn = n ₁とn = n _2の両方で達成できる場合、同じkとn = n ₁ + n ₂でも達成できます。特に、もし達成され、N = K + BとBが満たす整数である≥ Bを ≥0。

詳細は確認していませんが、球形の2設計はこの下限を達成するソリューションを提供するようです。

量子情報のSIC-POVMへの誤った接続

以前の改訂では、次のように述べています。

これに完全に答えるのは難しい質問だと思います。その理由は、私たちが代わりに複素ベクトル空間ℂを考慮するならばということである^kは、この質問は、量子情報で開いている問題に関連しています。

しかし、この関係は正しくありませんでした。その理由を説明します。

より正確には、次の問題を検討してください。

単位ベクトルを選択し、X ₁、···、X _N ∈ℂの^kは（1 /（最小限に抑えるためのn（nは -1）））Σ _{I ≠ J} | x _i ^* x _j | ^２。

上記の下限は、この複雑なバージョンにも等しく当てはまります。複合バージョンでn = k ^2の場合を考えます。次に、下限は1 /（k +1）に等しくなります。

これまでのところ、それは正しかった。

一連のK ²単位ベクトルX ₁、···、X _{K ²} ∈ℂの^Kと呼ばれる下限達成SIC-POVM次元でkは、

この部分は間違っていました。A SIC-POVMでの集合であるK ²単位ベクトルX ₁、···、X _N ∈ℂの^K |用 x _i ^* x _j | ² = 1 /（k +1）すべてのi ≠ jに対して。ここでの要件は、すべてのペアのために保持しなければならないことに注意I ≠ jのではなく、すべてのペアを超えるだけの平均I ≠ J。「等価定式化」セクションでは、最大値の最小化と平均値の最小化の間の等価性を示しましたが、これはx ₁、…、x _nは、そこに単位ベクトルをとる確率変数でした。ここでx ₁、…、x _nは単なる単位ベクトルであるため、同じトリックを使用することはできません。

「いいえ、分散はより小さくなる可能性があります」という質問への迅速で汚い答えは、標準的な基準とし、次のランダムプロセスを考慮します。異なる整数i、jのペアを選択、およびを設定します。他のベクトル（）の場合、に1対1で割り当てます。次に、ごとに、をそのままにするか、確率で（）フリップします。$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

参照することは容易である -いずれかと直交している、またはそれらが確率で同一の/逆の方向を指すそれぞれ。、X A 、X B $E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

一方、ます。我々はそれを持っている場合にのみ確率で発生。それ以外の場合。したがって、我々はすべてのためにそれを持っている、： （X A ⋅ X B ）2 = 1 { 、B } = { I 、J $Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$$\frac{1}{k+1 \choose 2}$B V R [ X A ⋅ X B ] = E [ （X A ⋅ X B ）2 ] = $(x_a \cdot x_b)^2 = 0$$a$$b$

私の直感では、これはかなり悪い（小さい）ものですが、証明はありません。さらに興味深いのは、この構成がn >> kで故障するように見えることと、独立して（おそらく異なる分布から）選択する必要がある場合です。$x_i$