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グラフのプロパティのテストでは、アルゴリズムはターゲットグラフにエッジの有無を照会し、ターゲットが特定のプロパティを持っているか、またはプロパティを持たないあるかを判断する必要があります。（アルゴリズムは、片面又は両面エラーで成功するように依頼することができる。）Aグラフである -far性質を有するからならないエッジを作るために減算/追加することができますプロパティがあります。ϵϵ\epsilonϵϵ\epsilonϵ（ n2）ϵ（n2）\epsilon \binom{n}{2} プロパティは、サブリニア数のクエリで上記で指定された方法でテストできる場合、またはさらに良いことに、依存しないクエリ数（はない）でテストできる場合、テスト可能と呼ばれます。プロパティが何であるかという概念も形式化することができますが、明確にする必要があります。nnnϵϵ\epsilon テスト可能なプロパティを特徴付ける多くの結果があり、テスト可能な自然なプロパティの多くの例があります。ただし、テスト可能ではないことが知られている多くの自然特性（クエリの数が一定の場合など）には気づいていません-私がよく知っているのは、与えられたグラフへの同型のテストです。 だから、私の質問は次のとおりです。どのような自然なグラフのプロパティはテスト可能でないことが知られていますか？

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仮定その構造、我々が知らない一定程度の木です。問題は、「ノードはノードからノードへのパス上にありますか？」という形式のクエリを実行して、ツリーを出力ことです。オラクルは一定の時間で各クエリに回答できると仮定します。ツリーのノード数であるの値を知っています。目的は、に関してツリーを出力するのにかかる時間を最小限にすることです。T x a b n nTTTTTTxxxaaabbbnnnnnn そこに存在して上記の問題のためのアルゴリズムを？o(n2)o(n2)o(n^2) ノードの次数は最大3 と仮定します。TTT 私が知っていること 有界直径の場合は簡単です。ツリーの直径が場合、分割統治アルゴリズムを取得できます。DDD バイナリツリーには、ツリーを1 / 3n以上のサイズのコンポーネントに分割する適切なセパレータがあります。 頂点xをピックします。それが良いセパレーターラベルである場合、それは再帰的です。 xの3つの近傍すべてを見つけます。 ノードの数が最も多い隣の方向に移動します。ネイバーでステップ2を繰り返します。 セパレータを見つけるには最大でステップかかるため、アルゴリズムを取得します。O （n D log n ）DDDO （n D ログn）O(nDlog⁡n)O(nD\log n) アルゴリズムをランダム化しO （nログ2n）O(nlog2⁡n)O(n\;\log^2 n)。（以下のコメントから移動） 2つの頂点xとyをランダムに選択します。1/9の確率で、セパレーターの反対側にあります。からまでのパスの中間ノードを選択します。バイナリ検索を行わない場合、区切り文字かどうかを確認します。yバツxxyyy それは取ります、セパレータを見つけるために時間を予想しました。したがって、ランダム化アルゴリズムを取得します。O （nO （nログn）O(nlog⁡n)O(n\;\log n)O （nログ2n）O(nlog2⁡n)O(n\;\log^2 n) バックグラウンド。この問題について、確率的グラフィカルモデルで働く友人から学びました。上記の問題は、3つのランダム変数X、Y、Zが与えられ、Zの値が与えられるとXとYの間の相互情報の値を伝えることができるオラクルを使用して、ジャンクションツリーの構造を学習することにほぼ対応します。値が近い場合ゼロまで、ZがXからYへのパス上にあると仮定できます。

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時間の複雑さや回路の下限を直接操作するのは怖いです。したがって、クエリの複雑さ（または決定木の複雑さ）などのツールを開発して、下限を処理します。各クエリには少なくとも1ステップが必要であり、クエリ間の計算は無料としてカウントされるため、時間の複雑さは少なくともクエリの複雑さと同じくらい高くなります。しかし、分離について何か言うことができますか？ 私は古典文学や量子文学の研究に興味がありますが、私はよく知っているのでQCの例を提供します。 Groverの検索やShorの期間発見などの有名なアルゴリズムでは、時間の複雑さはクエリの複雑さの多対数要因の範囲内にあります。Hidden Subgroup Problemなど、その他の場合、多項式クエリの複雑さがありますが、多項式時間アルゴリズムは不明です。 時間とクエリの複雑度の間にギャップが存在する可能性があるため、最適な時間の複雑度アルゴリズムが最適なクエリの複雑度アルゴリズムと同じクエリの複雑度を持たなければならないことは明らかではありません。 時間とクエリの複雑さのトレードオフの例はありますか？ 最もよく知られている時間複雑度アルゴリズムが最もよく知られているクエリ複雑度アルゴリズムとは異なるクエリ複雑度を持つ問題はありますか？言い換えれば、クエリ間操作を簡単にするためにより多くのクエリを実行できますか？ または、漸近的に最適な時間複雑性を持つ実装を持つ漸近的に最適なクエリアルゴリズムのバージョンが常に存在することを示す引数はありますか？

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量子計算機はクエリの複雑さに関して古典的なものより厳密に強力です。 クエリの複雑さの点で厳密に量子と古典の間にある他のモデル（自然または人工）はありますか？ 分離はオンにすることができます 特定の問題：モデルX は、クォンタムより厳密に多くのクエリを使用して関数を計算しますが、クラシックの下限よりも少ないクエリ、またはfff さまざまな問題：モデルX は、量子よりも厳密に多くのクエリで関数を計算しますが、従来よりも少ないクエリで関数を計算します。f1f1f_1f2f2f_2 どちらの場合も、すべての関数にを持たせ、クォンタム（非決定的クエリの証明書の複雑さなど）と比較するのが難しい例を回避します。ここで、（および）は両側エラー量子（および古典的ランダム化）クエリの複雑さであり、不等式は一定の要因内にあります。fffQ2(f）≤X（f)≤R2(f)Q2(f)≤X(f)≤R2(f)Q_2(f) \leq X(f) \leq R_2(f)Q2(f)Q2(f)Q_2(f)R2(f）R2(f）R_2(f)1 / 31/31/3

18 cc.complexity-theory  quantum-computing  query-complexity 

負の敵対方法（）は、量子クエリの複雑さを特徴付けるSDPです。これは、広く使用されている敵対法（）の一般化であり、敵対法を妨げる2つの障壁を克服しています。ADV±ADV±ADV^\pmADVADVADV プロパティテストの障壁：すべての0インスタンスがすべての1インスタンスから -farである場合、攻撃者の方法はよりも良い下限を証明できません。ϵϵ\epsilonΩ(1/ϵ)Ω(1/ϵ)\Omega(1/\epsilon) 証明書の複雑バリア：場合証明書の複雑さである -instances次に敵法は証明できない下部よりも良好に結合したここでCb(f)Cb(f)C_b(f)bbbC0(f)C1(f)−−−−−−−−−√C0(f)C1(f)\sqrt{C_0(f)C_1(f)} 元の論文では、著者はメソッドが両方の障壁を克服する関数の例を構築しました。ただし、これにより新しい下限が生じた自然な問題の例は見ていません。ADV±ADV±ADV^\pm 元の方法では達成できなかった下限を達成するために、負の敵対方法が使用された参考文献を提供できますか？ 私にとって最大の関心事は、プロパティテストです。現在、プロパティテストの下限はほとんどありませんが、実際には2つしか知っていません（CFMdW2010、ACL2011）、どちらも多項式法を使用します（最初は、多項式法によって下限が設定されていた衝突問題からの低減による）。（BNFR2002とGKNR2009の結果を組み合わせて計算可能なをチェックするために、量子クエリを必要とするプロパティがあることを知っています。負の敵対法を使用して下限を証明するのが難しいのはなぜですか？Θ （f（n ））Θ（f（n））\Theta(f(n))f（N ）∈ O （N ）f（n）∈O（n）f(n) \in O(n)Ω （f（n ））Ω（f（n））\Omega(f(n))

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バックグラウンド 二分決定木TTTは、ルートからリーフへのパスがインデックスを繰り返さないように、各内部ノード（およびルート）がインデックスラベル付けされているルート付きツリー出力によってラベル付けされ、各エッジは左の子に対して、右の子に対してでラベル付けされ。入力ツリーを適用するには：{ A 、B } 0 1 xj∈{1,...,n}j∈{1,...,n}j \in \{1,..., n\}{A,B}{A,B}\{A,B\}000111xxx ルートから開始 リーフにいる場合は、リーフラベルまたはを出力して終了しますBAAABBB ラベル読むjjjあなたの現在のノードのを、もしxj=0xj=0x_j = 0その後、左の子に移動している場合xj=1xj=1x_j = 1、次に右の子に移動します。 ステップ（2）にジャンプします ツリーは、特に、我々は木言う、機能を評価するための方法として使用されているTTT合計関数を表しfffそれぞれについて場合x∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^n我々はT(x)=f(x)T(x)=f(x)T(x) = f(x)。ツリーのクエリの複雑さはその深さであり、関数のクエリの複雑さはそれを表す最小のツリーの深さです。 問題 バイナリ決定木Tが与えられると、TとT 'が同じ関数を表すような最小の深さのバイナリ決定木T'が出力されます。 質問 このための最も有名なアルゴリズムは何ですか？下限はわかっていますか？ことがわかったらどうしますか？T ′がほぼ最小の深さであることが必要な場合はどうでしょうか？depth(T′)=O(logdepth(T))depth(T′)=O(log⁡depth(T))\text{depth}(T') = O(\log \text{depth}(T))T′T′T' 素朴なアプローチ ナイーブアプローチには、が与えられ、深さd − 1のすべてのバイナリ決定木を再帰的に列挙し、それらがTと同じものに評価されるかどうかをテストします。これにはO （d 2 n n ！d=depth(T)d=depth(T)d = \text{depth}(T)d−1d−1d - 1TTTステップ（任意のxに対してT（x）が評価するものをチェックするのにdステップかかると仮定します）。より良いアプローチはありますか？O(d2nn!(n−d)!)O(d2nn!(n−d)!)O(\frac{d 2^n n!}{(n - d)!})dddT(x)T(x)T(x)xxx …

16 ds.algorithms  query-complexity  decision-trees 

情報の複雑さは、通信の複雑さにおいて非常に有用なツールであり、主に分散問題の通信の複雑さの下限に使用されます。 クエリの複雑さに対する情報の複雑さの類似物はありますか？クエリの複雑さと通信の複雑さの間には多くの類似点があります。多くの場合（常にではありません！）、あるモデルの下限が他のモデルの下限に変換されます。この翻訳は非常に重要な場合があります。 問題のクエリの複雑さの下限に役立つ情報の複雑さの概念はありますか？ 最初のパスは、情報の複雑さがあまり役に立たないことを示しているようです。たとえば、ORの計算のクエリの複雑さビットがあるランダム化アルゴリズムとするためのの情報の複雑さの概念の最も簡単な適応がことを示しているのに対し、量子アルゴリズムのクエリアルゴリズムによって学習された情報は最大で（入力で最初のが見つかったときにアルゴリズムが停止するため）。NNNΩ （N）Ω（N）\Omega(N)Ω （N−−√）Ω（N）\Omega(\sqrt{N})O （ログN）O（ログ⁡N）O(\log N)111

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バックグラウンド： 決定木の複雑さまたはクエリの複雑さは、次のように定義される計算の単純なモデルです。ましょうf：{ 0 、1 }n→ { 0 、1 }f：{0、1}n→{0、1}f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}ブール関数です。決定論的クエリの複雑fff付し、D （f）D（f）D(f)、入力のビットの最小数であり、X ∈ { 0 、1 }nバツ∈{0、1}nx\in\{0,1\}^n決定論的アルゴリズムによって（最悪の場合に）読み取られるその必要があることを計算するf（x）f（バツ）f(x)。複雑さの尺度は、読み取られる入力のビット数であることに注意してください。他のすべての計算は無料です。 同様に、を計算するゼロエラーランダム化アルゴリズムが予期して読み取る必要がある入力ビットの最小数として、で示されるラスベガスランダム化クエリの複雑さを定義します。ゼロエラーアルゴリズムは常に正しい答えを出力しますが、読み取られる入力ビットの数はアルゴリズムの内部ランダム性に依存します。（これが、予想される入力ビットの読み取り数を測定する理由です。）R 0（f ）f （x ）fffR0（f）R0（f）R_0(f)f（x ）f（バツ）f(x) で表されるモンテカルロランダム化クエリの複雑さを、を計算する有界エラーランダム化アルゴリズムで読み取る必要がある入力ビットの最小数として定義します。境界エラーアルゴリズムは常に最後に答えを出力しますが、超える確率（たとえば）で正しい必要があるだけです。R 2（F ）F （X ）2 / 3fffR2（f）R2（f）R_2(f)f（x ）f（バツ）f(x)2 / 32/32/3 質問 かどうかの質問について知られていること R0（f）= Θ （R2（f））R0（f）=Θ（R2（f））R_0(f) = \Theta(R_2(f))？ と知られている R0（f）= Ω （R2（f））R0（f）=Ω（R2（f））R_0(f) = \Omega(R_2(f)) なぜなら、モンテカルロアルゴリズムは、少なくともラスベガスのアルゴリズムと同じくらい強力だからです。 最近、2つの複雑さの間に既知の分離がないことを知りました。この主張に関して私が見つけることができる最新の参考文献は、1998年のものです[1]。 [1] Nikolai K. …

13 cc.complexity-theory  reference-request  query-complexity  decision-trees 

分布特性P（[N]上のすべての分布のちょうどいくつかのサブセットである）のためのアルゴリズムを試験分布は、いくつかの分布Dに従ってサンプルへのアクセスを許可され、そして場合（WHP）を決定するために必要とされるD∈PD∈PD\in Pまたはd(D,P)>ϵd(D,P)>ϵd(D,P)>\epsilon（dddここでは、通常、ℓ1ℓ1\ell_1距離）。複雑さの最も一般的な尺度は、アルゴリズムで使用されるサンプルの数です。 現在、オブジェクトへのクエリアクセスがある標準のプロパティテストでは、クエリの複雑さの線形下限は、可能な限り最も強い下限です。これは、nnnクエリがオブジェクト全体を明らかにするためです。これは配布テストにも当てはまりますか？ 私の知る限り、分布の特性をテストするための「自明な」上限はO(n2logn)O(n2log⁡n)O(n^2\log n) --- Chernoff境界により、これはDに近い分布D 'を「書き留める」のに十分ですℓ1ℓ1\ell_1の距離、およびそこに近いPであるD」に任意の分布である（これは無限の時間がかかる場合がありますが、これはサンプルの複雑さとは無関係である）場合、我々は単に確認することができます。 すべての分布プロパティに対してより良い「簡単な」テストはありますか？ サンプルの下限が線形よりも強いことがわかっている分布特性はありますか？

13 cc.complexity-theory  machine-learning  query-complexity  property-testing 

一般的な敵の下限は、Reichardtらによる画期的な研究により、量子クエリの複雑さを特徴付けることが知られています。同じ作業により、スパンプログラムフレームワークへの接続が確立され、量子アルゴリズムが設計されます。 SimonのアルゴリズムやShorの期間発見アルゴリズムのような指数関数的な高速化を含む多くの興味深い量子アルゴリズムは、量子クエリモデルで表現できます。 一般的な敵対モデルでこれらのアルゴリズムの下限を示す仕事はありますか？ スパンプログラムフレームワークでSimonまたはShorのアルゴリズムを再派生させる作業はありますか？ どうやら、Groverのような、多項式の高速化を伴う量子アルゴリズムのみが、スパンプログラム（またはBelovの学習グラフ）フレームワークを使用して再導出されました。 Korianらによる研究があります。多項式法を使用してサイモンの下限を表示しますが、明らかに多項式法の下限を一般的な敵の下限に変換する既知の方法はありません。

12 cc.complexity-theory  quantum-computing  query-complexity 

Dana Angluin（1987 ; pdf）は、メンバーシップクエリと理論クエリ（提案された関数の反例）を含む学習モデルを定義しています。彼女は、状態の最小DFAで表される通常の言語が、O （m n 2）メンバーシップクエリおよび最大n − 1の理論クエリ（mは、チューターが提供する最大の反例のサイズです）。残念ながら、彼女は下限については話しません。nnnO(mn2)O(mn2)O(mn^2)n−1n−1n−1mmm 任意の関数間の同等性をチェックし、異なる場合は反例を提供できる魔法の家庭教師を想定することで、モデルをわずかに一般化できます。その後、通常の言語よりも大きなクラスを学ぶのがどれほど難しいかを尋ねることができます。この一般化と通常の言語に対する元々の制限に興味があります。 メンバーシップおよび反例モデルのクエリ数に既知の下限はありますか？ メンバーシップクエリ、理論クエリ、または2つの間のトレードオフの数の下限に興味があります。通常の言語よりも複雑なクラスであっても、あらゆるクラスの関数の下限に興味があります。 下限がない場合：このモデルでクエリの下限を証明するための障壁はありますか？ 関連する質問 正規集合を学習するためのDana Angluinのアルゴリズムに改善はありますか

11 cc.complexity-theory  machine-learning  lower-bounds  lg.learning  query-complexity 

有界誤差量子クエリ複雑度（）と確定的クエリ複雑度（）または有界エラーランダムクエリ複雑度（）の指数分離は既知ですが、特定の部分関数にのみ適用されます。部分関数にいくつかの特別な構造がある場合、それらはと多項的に関連しています。しかし、私は主に総機能について心配しています。D （f ）R （f ）Q(f)Q（f）Q(f)D(f)D（f）D(f)R(f)R（f）R(f)D(f)=O(Q(f)9))D（f）=O（Q（f）9））D(f) = O(Q(f)^9)) 古典紙、それがあることが示されたによって制限されるの合計の機能のために、単調総機能のため、および対称合計関数の場合。ただし、これらの種類の関数については、2次分離以下が知られています（この分離は、たとえばによって実現されます）。私が理解している限り、ほとんどの人は、総関数に対してがあると推測しています。この推測はどのような条件下で証明されましたか（対称関数を除く）？合計関数の量子クエリの複雑さの観点から、意思決定ツリーの複雑さの現在の最高の限界は何ですか？D(f)D（f）D(f)O(Q(f)6)O（Q（f）6）O(Q(f)^6)O(Q(f)4)O（Q（f）4）O(Q(f)^4)O(Q(f)2)O(Q(f)2)O(Q(f)^2)ORORORD(f)=O(Q(f)2)D(f)=O(Q(f)2)D(f) = O(Q(f)^2)

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スパンプログラムは、ここで紹介するブール関数を指定する線形代数的な方法です。最近、このモデルは、否定的な敵対法が量子クエリの複雑さの厳密な特性評価（少なくとも）を提供することを示すために使用されました。ログn /ログログんログ⁡ん/ログ⁡ログ⁡ん\log n/ \log \log n スパンプログラムを量子クエリの複雑さに関連付ける複雑さの尺度は、目撃者のサイズです。この方法は、証明書の複雑さにかなり似ています。2つの測定の間に既知の関係はありますか？スパンプログラムのサイズ（入力ベクトルの数）の測定値と、確定的でランダム化されたクエリの複雑さのような他の測定値はどうですか？スパンプログラムを評価するための最もよく知られた古典的なアルゴリズムは何ですか？ 編集（マーティンシュワルツによる回答の後）： 特に興味深いのは、監視サイズと量子クエリの複雑さの間の対応ではなく、スパンプログラムを直接通過する概念的な接続です。スパンプログラム/監視サイズに関する直観を提供する古典的な結果、およびそれらが決定論的でランダム化されたクエリの複雑さにどのように関連するか？

10 cc.complexity-theory  reference-request  quantum-computing  query-complexity 

ブール関数の決定木の複雑さにおいて、非常によく知られている下限の方法は、関数を表す（近似）多項式を見つけることです。Paturiは示さ量の点で対称ブール（部分及び合計）関数の特徴付けを与え。ΓΓ\Gamma 定理（Paturi）：レッツ任意の非定対称関数である、と表すF K = F （X ）場合| x | = k（xのハミング重みはkです）。近似度F付し、〜DのEのG（fが）であり、Θ （√ffffk=f(x)fk=f(x)f_k=f(x)|x|=k|x|=k|x|=kxxxkkkfffdeg˜(f)deg~(f)\widetilde{deg}(f)ここで、Γ（F）=分{| 2k−n+1| ：FK≠F K + 1 及び 0≤K≤N-1}Θ(n(n−Γ(f))−−−−−−−−−−√)Θ(n(n−Γ(f)))\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})Γ(f)=min{|2k−n+1|:fk≠fk+1 and 0≤k≤n−1}Γ(f)=min{|2k−n+1|:fk≠fk+1 and 0≤k≤n−1}\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\} 今せてである閾値関数、すなわちT H R T（X ）= 1であれば、X ≥ T。この中で紙（参照：セクション8、15ページ）と述べている〜D E G（F ）=は、√Thrt(x)Thrt(x)Thr_t(x)Thrt(x)=1Thrt(x)=1Thr_t(x)=1x≥tx≥tx\geq t。deg˜(f)=(t+1)(N−t+1)−−−−−−−−−−−−−−√deg~(f)=(t+1)(N−t+1)\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)} しきい値関数について、、なぜなら| x | = t − 1関数は0から1に変化します。私は正しいですか？Γ(Thrt)=|2(t−1)−n+1|Γ(Thrt)=|2(t−1)−n+1|\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1||x|=t−1|x|=t−1|x|=t-1 Paturiの定理をこの値に直接適用すると、他の論文で報告されているしきい値関数の下限が得られません。上記のΓ （T …

9 cc.complexity-theory  quantum-computing  lower-bounds  boolean-functions  query-complexity 

で、この論文、Hajnalは次の補題を述べています： LET 持つすべての二部グラフの組であるN個の左部分との頂点M右側の頂点。仮定P ⊆ Gは、N 、Mは、非自明な単調、および二部グラフ同型に対して不変です。左頂点の次数の並べ替えられたリストに従って、プロパティPの最小グラフのセットを辞書順に並べ替え、Gをこの順序に従ってプロパティPの最初の最小グラフとします。ゼロ誤差は、クエリ複雑無作為PがあるΩ （Δ LGn,mGn,m\mathscr{G}_{n, m}nnnmmmP⊆Gn,mP⊆Gn,m\mathscr{P} \subseteq \mathscr{G}_{n, m}PP\mathscr{P}GGGPP\mathscr{P}PP\mathscr{P}、ΔL（Gは）の左側の任意の頂点の最大次数であるG及びδL（Gは）の左側の頂点の平均程度であるG。Ω(ΔL(G)δL(G)n)Ω(ΔL(G)δL(G)n)\Omega(\frac{\Delta_L(G)}{\delta_L(G)} n)ΔL(G)ΔL(G)\Delta_L(G)GGGδL(G)δL(G)\delta_L(G)GGG （実際には、Hajnalは実際に上記の補題のわずかな拡張を使用する。）同じ補題もでGrögerで使用され、この他の論文及びChakrabartiとKhotにより、この他の紙。しかし、私はハイナルの補題の証拠を理解することができません。ハイジャナルは補題を八尾に帰し、この論文を引用している。しかし、八尾の論文は、その補題をその形で実際に主張していません。 八尾の論文は密接に関連した補題を証明しています。（八尾の論文では補題5、または同等補題6 八尾の紙のこの雑誌版。）八尾の論文に補題の証明を適応させることによって、私はHajnalの補題を証明する方法を見て、余分な仮定の下でその。私がある場合に問題抱えているδ L（Gが） subconstantです。δL(G)≥Ω(1)δL(G)≥Ω(1)\delta_L(G) \geq \Omega(1)δL(G)δL(G)\delta_L(G) λ(n)λ(n)\lambda(n)δL(G)δL(G)\delta_L(G)μ(n)μ(n)\mu(n)ΔL(G)ΔL(G)\Delta_L(G)ΔL(G)−4δL(G)⌈4δL(G)⌉⋅n2ΔL(G)−4δL(G)⌈4δL(G)⌉⋅n2\frac{\Delta_L(G) - 4\delta_L(G)}{\lceil 4 \delta_L(G) \rceil} \cdot \frac{n}{2} δL(G)δL(G)\delta_L(G)O(ΔL(G)n)O(ΔL(G)n)O(\Delta_L(G) n)ΔL(G)δL(G)nΔL(G)δL(G)n\frac{\Delta_L(G)}{\delta_L(G)} nT′iTi′T_i' 証明にパッチを適用するにはどうすればよいですか？

8 graph-theory  query-complexity