しきい値関数の下限

ブール関数の決定木の複雑さにおいて、非常によく知られている下限の方法は、関数を表す（近似）多項式を見つけることです。Paturiは示さ量の点で対称ブール（部分及び合計）関数の特徴付けを与え。 $\Gamma$

定理（Paturi）：レッツ任意の非定対称関数である、と表す場合（のハミング重みは）。近似度付し、であり、 $f$ $f_k=f(x)$ $|x|=k$ $x$ $k$ $f$ $\widetilde{deg}(f)$ ここで、 $\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$ $\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

今せてである閾値関数、すなわちであれば。この中で紙（参照：セクション8、15ページ）と述べている $Thr_t(x)$ $Thr_t(x)=1$ $x\geq t$ 。 $\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$

しきい値関数について、、なぜなら関数は0から1に変化します。私は正しいですか？ $\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$ $|x|=t-1$

Paturiの定理をこの値に直接適用すると、他の論文で報告されているしきい値関数の下限が得られません。上記のの値は正しいですか？何が欠けていますか？ $\Gamma$ $\Gamma(Thr_t)$

編集：私はまた、しきい値の量子敵対下限を計算してみました。まず、定理を確認しましょう。

定理（重みなし量子敵は）：レッツ部分的ブール関数であること、およびlet および（ハード）入力のサブセットです。LET 関係すること、および集合各々について $f$ $A\subseteq f^{-1}(0)$ $B\subseteq f^{-1}(1)$ $R\subseteq A\times B$ $R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$ 。ましょ任意の行との関係における任意の列内の1の最小数示しそれぞれ、およびlet関係のいずれかの任意の行および列における1の最大数を示しそれぞれ。次に、 $1\leq i \leq n$ $m,m'$ $R$ $\ell,\ell'$ $R_i$ 。 $Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

を1の数が以上のすべての入力のセットとして定義し、が1の値が厳密に未満のすべての入力をとと、（代数の後） $B$ $t$ $A$ $t$ 。 $\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

したがって、私は他の論文で報告されているのと同じ下限を取得していません。では、これらの境界を比較してみましょう。以下の図は、で平方根なしの場合の、パトリの定理限界（青）、敵対限界（赤）、および他の論文から報告された限界（緑）の比較を示しています。 $n=200$

ここに画像の説明を入力してください

私の質問は：

1-他の論文で報告された限界をどうやって取得しますか？

2-図から、報告された下限（緑）は、パトリの下限と敵の下限も下限であることがわかります。「本当の」下限を弱めているのではないでしょうか？たとえば、すべての対称関数にこの限界があるとPaturiが言った場合、量子計算の一致する上限をどのように取得できますか（ $\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

— マルコス・ビヤグラ
ソース

Γ (T h r_{t})

$\Gamma(Thr_t)$

Γ (T h r_{t}) = | 2 (t - 1) - n + 1 |

$\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$

Γ (T h r_{t})

$\Gamma(Thr_t)$

彼らは絶対値関数を避けたいと思う。関数の形式が簡単になり、計算のケースバイケース分析を回避できます。彼らがどのようにしてこの近似を元の関数から得るのか興味がありますか？

— マークベリー

定数まで同じです。

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2011

の境界を取得または確認する方法がわかりません $\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$ $\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

$t = 0$ $1$

n (n - | (2 (t - 1) - n + 1 |) = {\begin{cases} n (2 t - 1) & 1 \leq t \leq n / 2 + 1 / 2 \\ n (2 n - 2 t + 1) & n / 2 + 1 / 2 \leq t \leq n - 1 \end{cases}

$n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert) = \left\lbrace \begin{array}{ll} n(2t-1) & 1 \leq t \leq n/2+1/2\\ n(2n-2t+1) & n/2+1/2 \leq t \leq n-1 \end{array} \right.$

$f_1(t) = n(2t-1)$ $f_2(t) = n(2n-2t+1)$ $g(t) = (t+1)(n-t+1)$

$t$ $f_1(t)/g(t)$ $f_2(t)/g(t)$ $g(t)/f_1(t)$ $g(t)/f_2(t)$ $n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

n (n - | 2 (t - 1) - n - 1 |) = Θ ((t + 1) (n - t + 1))

$n(n-\vert 2(t-1)-n-1\vert) = \Theta((t+1)(n-t+1))$

\sqrt{n (n - | 2 (t - 1) - n - 1 |)} = Θ (\sqrt{(t + 1) (n - t + 1)}) .

$\sqrt{n(n-\vert 2(t-1)-n-1 \vert)} = \Theta(\sqrt{(t+1)(n-t+1)}).$

この結果を表示/取得する簡単な方法はありますか？

— マーク・ベリー
ソース

はい、あなたは正しいと思います。私の印象は、元の著者が量子下限のようないくつかの結果のためにその下限について知っていたということです。量子カウティングでは、上限があります。

\sqrt{(t + 1) (n - t + 1)}

$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

あなたの努力をありがとう!! これが答えだと思います。多分これがこの結果を得るための唯一の方法であると私は今より確信しています。

— Marcos Villagra、2011年