量子クエリと複雑なクエリの複雑さの間のギャップの制限

有界誤差量子クエリ複雑度（）と確定的クエリ複雑度（）または有界エラーランダムクエリ複雑度（）の指数分離は既知ですが、特定の部分関数にのみ適用されます。部分関数にいくつかの特別な構造がある場合、それらはと多項的に関連しています。しかし、私は主に総機能について心配しています。D （f ）R （f $Q(f)$$D(f)$$R(f)$$D(f) = O(Q(f)^9))$

古典紙、それがあることが示されたによって制限されるの合計の機能のために、単調総機能のため、および対称合計関数の場合。ただし、これらの種類の関数については、2次分離以下が知られています（この分離は、たとえばによって実現されます）。私が理解している限り、ほとんどの人は、総関数に対してがあると推測しています。この推測はどのような条件下で証明されましたか（対称関数を除く）？合計関数の量子クエリの複雑さの観点から、意思決定ツリーの複雑さの現在の最高の限界は何ですか？$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$$OR$$D(f) = O(Q(f)^2)$

私が知る限り、あなたが述べる一般的な境界は、本質的に最もよく知られています。わずかに、Midrijanisが有するモデル変化示さを結合することを、Q E（fが）である、正確な量子クエリ複雑F。また、片側エラーの観点から既知のより厳しい境界もあります（このホワイトペーパーのセクション6を参照）。$D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

より具体的な面では、まだ一般的な、機能のクラス、バーナムとサックスの紙がある番組全てリードワンス機能のことをの変数は、量子質問複雑さの持つΩは（$n$。$\Omega(\sqrt{n})$

この進歩は限られていますが、特定の関数の量子クエリの複雑さの下限にはかなりの進歩があります。詳細については、このレビューを参照してください（または、「敵対的な」境界の最も一般的なバージョンが量子クエリの複雑さを特徴付けることを証明するReichardtのより最近の論文）。

私はアシュリーモンタナロの答えが好きですが、推測がわかっている関数のセットも含めると思いました。

しばしば関心がある一連の関数は、一定サイズの1証明書を持つ関数です。このクラスの問題には、クエリの複雑さの分離があることが示されている、区別、衝突、三角形の発見、およびその他の多くの問題（HSPファミリにはない）が含まれます。$OR$

一定サイズの1証明書の合計関数場合、D （f ）= O （Q （f ）2）になります。$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

詳細：

入力のための証明書ビットのサブセットであるS ⊆ { 1 、。。。、N }すべての入力のためのそのようなY、（∀ I ∈ $x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$。次に、 C x（f ）は入力 xの証明書の最小サイズであり、1証明書の複雑さ C 1（f ）= max x | f （x ）= 1 C x（f ）（0証明書の複雑度は同じですが、 f （x ）に制限されます$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$）。$f(x) = 0$

あなたはできる示している。そして、あなたはBuhrmanに提示したアルゴリズムを使用して、狼のデでき調査：それを示すためにD（F）≤C1（F）BS（fは）≤C0（F）C1（F$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

グラフのプロパティに注意を向ければ、あなたが言及している一般的な境界と比較してわずかに改善された境界を証明できます。

古典紙のことが示されたによって囲まれているO （Q （F ）6）合計機能のため、O （Q （F ）4）単調総機能のため、およびO （Q （F ）2）のために対称合計関数。$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

$\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1]日、X。八尾、AC; Shangyu Zhang、「グラフのプロパティと循環関数：量子クエリの複雑さはどの程度低くなりますか？」、Computational Complexity、2004年。第19回IEEE Annual Conference on、vol。、no。、pp.286,293、21-24 June 2004 doi：10.1109 / CCC.2004.1313851

[2]マグニエズ、フレデリック。Santha、Miklos; セゲディ、マリオ（2005）、「三角形の問題の量子アルゴリズム」、離散アルゴリズムに関する第16年次ACM-SIAMシンポジウムの議事録、バンクーバー、ブリティッシュコロンビア：工業および応用数学学会、1109〜1117頁、arXiv：quant -ph / 0310134。

2015年には、この質問について多くの進展がありました。

$f$

一方、arXiv：1512.04016 [quant-ph]では、関数のドメインが非常に小さい場合に、クエリの複雑さと量子論的クエリの複雑さの間の二次関係が成り立つことが示されました。