タグ付けされた質問 「lo.logic」

計算および数学的論理。

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カレーハワードと非建設的な証明からのプログラム
これは次の質問です 証明とプログラムの違い（または命題と型の違い）は何ですか？ の形式の非構成的（古典的）証明に対応するプログラムは何ですか？（は興味深い決定可能な関係であると仮定します。たとえば、 -th TMはステップで停止しません。）∀k T(e,k)∨¬∀k T(e,k)∀k T(e,k)∨¬∀k T(e,k)\forall k \ T(e,k) \lor \lnot \forall k \ T(e,k)TTTeeekkk （ps：この質問を投稿している理由の1つは、彼のコメントで「Godel-Gentzenの翻訳は継続渡しの変換です」というNeelの意味をもっと知りたいからです。）
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論理関係とシミュレーションの違いは何ですか？
私は、プログラムの同等性を証明する方法に取り組んでいる初心者です。2つのプログラムが同等であることを証明するために、論理関係またはシミュレーションを定義することに関するいくつかの論文を読みました。しかし、私はこれら2つの手法についてかなり混乱しています。 シミュレーションは共誘導に基づいているのに対し、論理関係は帰納的に定義されていることしか知りません。なぜこのように定義されているのですか？それぞれの長所と短所は何ですか？さまざまな状況でどちらを選ぶべきですか？
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大きな可算序数表記の帰納型。
私は「自然な方法」で大きな可算序数の表記法を構築しようとしています。「自然な方法」とは、帰納的データ型Xが与えられると、その平等は通常の再帰的平等（deriving EqHaskellで生成されるものと同じ）であり、順序は通常の再帰的辞書編集順（deriving OrdHaskellで生成されるものと同じ））、およびXのメンバーが有効な序数表記であるかどうかを決定する決定可能な述語があります。 例えば、以下εより序0は、遺伝的有限ソートリストを満たすこれらの要件で表すことができます。Xをμαに定義します。μβ。1 +α×β、別名遺伝的に有限のリスト。isValidXがソートされ、Xのすべてのメンバーがであることを確認するように定義しますisValid。Xの有効なメンバーが少ないεよりも、すべての序数です0通常の辞書式順序の下で。 私はそのμα推測0を。...μα nと。1 +α 0 ×...×α N φ未満序を定義するために使用することができ、N + 1と同様の方法で、φは、ヴェブレン関数である（0）、。 ご覧のとおり、φω（0）でμ量指定子が不足しています。要件を満たすより大きな序数表記を作成できますか？私はΓ限り取得することを期待していた0。有効性述語の決定可能性要件を削除した場合、より大きな序数を取得できますか？
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TCS定理の合理的な自動証明システムはありますか？
マシンがチェックできるように、停止問題に関するチューリングの証明を形式化したいとします。有名な自動定理証明システムには、Mizar、Coq、HOL4などがあります。Coqをダウンロードして実験しましたが、Turingマシン用のライブラリがありません。私は自分でコーディングしようと思ったが、チュートリアルが欠けており、言語を習得するのが難しいことがわかった。 私の質問は次のとおりです。チューリング機械を含む定理を証明するのに一般的に優れている自動化された定理証明器はありますか？既に存在するライブラリを使用して、停止する問題の決定不能性の証明を形式化できれば、そのような定理証明者は「良い」と考えます。比較的簡単に手に入れることができれば、さらに良いと考えます。（記録のために、私は通常、プログラミング言語に問題はありません。） おかげで、 フィリップ
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タイプスペースの対数またはルート演算とは何ですか？
私は最近、計算の2つの二重性：負のタイプと分数タイプを読んでいました。このペーパーでは、合計タイプと製品タイプを拡張し、タイプa - bとにセマンティクスを提供しますa/b。 加算および乗算とは異なり、べき乗、対数、および根の1つではなく2つの逆関数があります。関数型（a→b）が型理論的なべき乗である場合、型a → b（またはb^a）が与えられたlogb(c)場合、その型または型を持つとはどういう意味a√cですか？ 対数と根を型に拡張するのは理にかなっていますか？ もしそうなら、この分野で何か仕事がありましたか？また、その影響を理解する方法に関する良い方向性は何ですか？ カリー・ハワード通信が私を助けてくれることを期待して、私は論理でこれに関する情報を調べてみましたが、役に立ちませんでした。
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指数関数的に長い解像度証明を必要とするブール式のよく知られたクラス
多くの場合、SATソルバーには、切断面法、変数の伝播、分岐と境界、節の学習、インテリジェントバックトラッキング、または手織りの人間のヒューリスティックが含まれています。しかし、何十年もの間、最高のSATソルバーは解像度証明技術に大きく依存しており、単に支援のために、また解像度スタイルの検索を直接行うために、他のものの組み合わせを使用しています。明らかに、少なくともいくつかのケースでは、どのアルゴリズムでも多項式時間で充足可能性の質問を決定できないことが疑われます。 1985年、Hakenは論文「解像度の難易度」で、CNFでエンコードされた鳩の穴の原理は多項式サイズの解像度の証明を受け入れないことを証明しました。これは解像度ベースのアルゴリズムの難しさについて何かを証明しますが、最先端のソルバーを判断できる基準も提供します-実際、今日のSATソルバーの設計に関する多くの考慮事項の1つは、その実行方法です既知の「ハード」ケース。 指数関数的なサイズの解像度の証明を証明できるブール式のクラスのリストを持つことは、新しいSATソルバーをテストするための「ハード」式を提供するという意味で役立ちます。そのようなクラスを一緒にコンパイルする際にどのような作業が行われましたか？そのようなリストと関連する証拠を含む参照を誰かが持っていますか？回答ごとにブール式のクラスを1つリストしてください。
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教会の定理とゲーデルの不完全性定理
私は最近、計算可能性に関してさまざまな論理学者や数学者によって行われた画期的な研究のアイデアや歴史のいくつかを読んでいます。個々の概念はかなり明確ですが、それらの相互関係とそれらがすべてリンクされている抽象レベルをしっかり把握しようとしています。 教会の定理（あるいは、アロンゾ教会とアランチューリングによるヒルベルトの突発的問題の独立した証明）は、一般に、公式システムの特定の数学的ステートメントが真か偽かを計算できないことを証明したことを知っています。私が理解しているように、チャーチ・チューリングの論文は、チャーチのラムダ計算とチューリング機械の間の等価性（同型）のかなり明確な説明を提供します。（注：私が知る限り、Turingの証拠は停止の問題が決定不能であるという事実を利用しています。間違っている場合は修正してください。） 現在、ゲーデルの最初の不完全性定理は、十分な算術能力を備えた一貫した形式システムのすべてのステートメントがこのシステム内で証明または反証（決定）されるわけではないことを示しています。多くの点で、これは教会の定理とまったく同じことを言っているように見えます。ラムダ計算と旋盤はどちらも事実上一種の形式的なシステムです。 しかし、これは私の全体論的な解釈であり、誰かが詳細に光を当てることを望んでいました。これらの2つの定理は事実上同等ですか？観察すべき微妙な点はありますか？これらの理論が本質的に同じ普遍的真実を異なる方法で見ている場合、なぜそれらはそのような異なる角度からアプローチされたのですか？（ゴーデルの証明と教会の証明の間には多かれ少なかれ6年がありました）。最後に、形式システムの証明可能性の概念（証明計算）は、再帰理論の計算可能性の概念（チューリングマシン/ラムダ計算）と同一であると言えますか？
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フェイト・トンプソンの定理の形式化に興味深いアルゴリズムはありますか？
George Gonthierと彼の協力者たちは、奇数次定理の定式化を終えたようです。 4色の定理に関する以前の研究で、Gonthierは、特に正式な検証に適した新しいアルゴリズム（主にBDDとグラフアルゴリズムのバリアント）を発明しました。彼は有限群理論の研究でこの小規模な反射スタイルの検証を使い続けていると言っているので、この開発中にどのような新しいアルゴリズムのトリックが開発されたのだろうか？
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SATをHornSATに翻訳する
ブール式BをHorn句の同等の接続詞に変換することは可能ですか？HornSATについてのWikipediaの記事は、それがほのめかされているように見えますが、私は参照を追いかけることができませんでした。 「多項式時間」ではなく、「まったく」という意味です。
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純粋な関数型プログラミング言語用の注釈付きの正式な検証システムはありますか？
ACSL（Ansi C仕様言語）は、特別なコメントが付けられたCコードの仕様であり、Cコードを正式に検証できます。 私はまだ調べていませんが、ACSL検証で使用される正式な方法はHoare Logicに似ていると思います。ただし、Haskellなどの純粋な関数型言語の場合、フォーマル検証にどのようなフォーマリズムが使用されるか想像できません。 ACSLに似たものを作った人はいますか？そうでない場合、関数型言語の仕様注釈付きスタイルのフォーマル検証に関する研究はありますか？ 私は、多くの言語（Agda、イドリスなど）がサポートする依存型付けがあることを知っていますが、Haskellでは、いくつかの（判読できない？）型の奇妙なことをせずに、依存型付けは困難です。それを念頭に置いて、HaskellはAgdaやIdrisよりもはるかに優れたライブラリをサポートしているので、機能的な形式検証のためのこのようなシステムが役立つと思いますが、これについて研究が行われたかどうかはわかりません。
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型命題はありますか？（タイプとは正確には何ですか？）
私は型システムなどについて多くのことを読んでおり、それらが導入された理由をおおまかに理解しています（ラッセルのパラドックスを解決するため）。また、プログラミング言語と証明システムにおけるそれらの実用的な関連性を大まかに理解しています。ただし、型が何であるかという私の直感的な概念が正しいとは完全には確信していません。 私の質問は、型が命題であると主張することは有効ですか？ 言い換えると、「nは自然数」というステートメントは「nは型「自然数」を持っている」というステートメントに対応します。つまり、自然数を含むすべての代数規則がnに当てはまります。（言い換えると、代数ルールはステートメントです。自然数に当てはまるステートメントはnにも当てはまります。） 次に、これは数学的なオブジェクトが複数のタイプを持つことができることを意味しますか？ さらに、すべてのセットのセットを持つことはできないため、セットはタイプと同等ではないことを知っています。私があれば、と主張でしセットはに類似した数学的対象である数や機能、タイプがメタ数学的なオブジェクトの一種であり、同じロジックで種類は、メタ-メタ-数学的対象でありますか？（すべての「メタ」がより高いレベルの抽象化を示すという意味で...） これにはカテゴリー理論への何らかのリンクがありますか？
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なぜ述語論理のために形式的な意味論が必要なのですか？
この質問を解決したと考えてください。それらのすべてが私のトピックの理解に貢献したので、私は最良の答えを選びません。 述語論理のセマンティクスを正式に定義することにより、どのような利点があるかわかりません。しかし、形式的な証明計算を行うことには価値があります。私のポイントは、証明計算の推論規則を正当化するために形式的な意味論を必要としないということです。 「思考の法則」、つまり数学者が数百年にわたって定理を証明するために使用してきた推論規則を模倣する計算法を定義できます。そのような計算はすでに存在します：自然な演duction。次に、この計算を健全で完全であると定義します。 これは、述語論理の形式的なセマンティクスが単なるモデルであることを認識することで正当化できます。モデルの適切性は、直感的にのみ正当化できます。したがって、自然な演ductionが健全であり、正式なセマンティクスを参照して完全であることを示すことによって、自然な演ductionがより「真」にならない。自然な演ofのルールを直観的に直接正当化することも同じくらい良いことです。正式なセマンティクスを使用した迂回路では何も得られません。 次に、自然な演definedを健全で完全であると定義したので、他の計算の健全性と完全性を、それらが生成する証明が自然な演toに変換できることを示すことで示すことができます。 上記の反射は正しいですか？形式的なセマンティクスを参照して証明計算の健全性と完全性を証明することが重要なのはなぜですか？
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証明ネットについてどう考えるべきですか？
この質問に対する答えで、Stephane Gimenezは、線形論理の証明のための多項式時間正規化アルゴリズムを指摘しました。Girardの論文の証明では証明ネットを使用していますが、これは実際にはあまり知らない線形論理の側面です。 さて、私は以前に証明ネットに関する論文（Pierre-Louis Curienのメモなど）を読んだことがありますが、実際には理解していません。だから私の質問は次のとおりです。私はそれらについてどう考えるべきですか？「それらについて考える方法」とは、それらの背後にある非公式の直観（例えば、それらが計算的にどのように振る舞うか、またはそれらがシークエントとどのように関係するか）と、それらについての定理の両方を意味します。 この質問に答えるには、（1）線形論理の証明理論をよく知っています（カットエリミネーションの証明がどのように行われ、焦点を絞った形であるかなど）、（2）コヒーレンス空間に関するカテゴリのセマンティクスまたはデイコンボリューション、および（3）GoI構築の非常に基本的な初歩。
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