SATをHornSATに翻訳する

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ブール式BをHorn句の同等の接続詞に変換することは可能ですか？HornSATについてのWikipediaの記事は、それがほのめかされているように見えますが、私は参照を追いかけることができませんでした。

「多項式時間」ではなく、「まったく」という意味です。

reference-request lo.logic sat

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「翻訳」とはどういう意味ですか？HornSAT式として記述できないSATインスタンスがあることは明らかです。たとえば、句（pまたはq）。しかし、おそらく、出力HornSAT公式が満たされる場合に、入力SAT公式が満たされるような削減が必要であることを意味しますか？もちろんその場合、効率を気にしないので些細な削減があります

— ...-arnab

効率を制限することなく、それは実際に些細なことなので、私は満足できるという意味ではありません。SATインスタンスと対応するHornSATインスタンスの両方に共通の変数を考慮するとき、「同じ満足できる割り当てがある」と同等です（補助変数を追加する必要がある場合は、それらを投影します）。正確には例（P v Q）のためにそれは不可能であるべきであることに同意しますが、それを証明する方法がわかりません。校正スケッチはありますか？

— エフゲニーストールステン

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質問はまだあいまいです。「それらを投影する」という意味を説明できますか？「（A、B）がHornSATインスタンスF 'を満たすような補助変数への割り当てBがある場合、割り当てAはSATインスタンスFを満たす」という意味ですか？そうだとすれば、HornSATのP完全性を使用するだけでそれができると思います。

— ライアンウィリアムズ

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いいえ。ホーン節の接続詞は、少なくとも正真正銘の接続詞はそうではないヘルブランドモデルを認めています。Cf. ロイド、1987、論理プログラミングの基礎。

最小Herbrandモデルには、すべての満足者の交差点にあるという特性があります。用エルブランモデルである、arnabが言うように、その交点を含まない式の例でありますこれは、ホーン節の結合として表現することはできません。 $(a \lor b)$ $\{\{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}$ $(a \lor b)$

不正解が上書きされました

— チャールズ・スチュワート
ソース

賢いですが、句-a_1＆...＆-a_n->＃はHorn句ではありません。

— エフゲニーストーステンセン

@Evgenij：そうです。

— ラドゥグリゴー

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ホーン節は、リテラルと最大で1つの正のリテラルの分離です。上記をリテラルの分離に変換すると、すべてのリテラルが正であるa_1 v ... v a_nが得られます。上記の条項はデュアルホーンですが、それは私の興味を助けません。

— エフゲニーストルステンセン

@rgrig：いいえ、私は混乱していました。@Evgenij：回答が修正されました。

— チャールズスチュワート

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同等性は、次の方法で実現できます（2SATからHornSATへの削減）。だから、 $(p \lor q)$ もまた、このようにしてホーン式にすることができます。この削減を指摘してくれたJoshua Gorchowに感謝します。

入力：変数、...、、...、節がある2-SAT式 $\phi$ $C_1$ $C_k$ $x_1$ $x_n$ 。

Horn式 $Q$ 次のようにします。

4があります（選ぶ）の新しい変数、のための1つの可能なすべて の可能な2-CNF句、ほとんどの2つのリテラル（での変数だけでなく、中の句これは- ）ユニット句と空の句を含みます。句対応する新しい変数はで示されます。 $\times$ $n$ $2$ $+ 2n + 1$ $x$ $C_i$ $\phi$ $D$ $z_D$

4 （ choose ）は、各ペアが 4つの2-cnf句を生成するという事実に由来します。それぞれという事実から来る 2つの単位句を作成することができます。そして最後に「1」は空の句から来ます。したがって、可能な2-cnf句の総数は 4 （ choose ）です。 $\times$ $n$ $2$ $(x_i, ~x_j)$ $2n$ $x_i$ $=$ $\times$ $n$ $2$ $+ 2n + 1$

2-CNF句場合は他の二つの2-CNF句から、次のと単一解像度の段階で、我々はホーン節を追加への ...繰り返しますが、私たちは、このすべての可能な2-CNF句のため-すべての4 （選ぶ） -それらの だけでなく、 $F$ $D$ $E$ $(z_D \land z_E \to z_F)$ $Q$ $\times$ $n$ $2$ $+2n+1$ $C_i$ 。

その後、我々は単位節を追加に、各節のための、入力に現れる ...最後に、我々は単位節を追加に。 $z_{C_i}$ $Q$ $C_i$ $\phi$ $(\neg z_{empty})$ $Q$

ホーンの公式が完成しました。使用される変数は、inで使用される変数とは完全に異なることに。 $Q$ $Q$ $\phi$

— マーティン・シーモア
ソース

誰かが他の方向のアルゴリズムを知っていますか？ホーン式所与

、等価2SAT（2CNF）発現を得るための方法がある

ほど、

場合にのみ充足可能

ありますか？同じ変数セットを使用するか、追加の変数を使用するか、まったく異なる変数セットを使用しますか（上記の回答で行われたように）？または、これが不可能であるという証拠ですか？

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

— マーティンシーモア

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可能だとは思いません。方法は書くこと、例えば、ありません以降のホーン節の組み合わせとして $\phi = (X_1 \vee X_2 \vee \neg X_3 \vee \neg X_4)$ $\phi$ だけ単一真理割り当て、より少ないと、すなわち0011でもホーン句無法者4つのリテラルは、2つ以上の真理値の割り当てを禁止します。4つのリテラルを持つホーン節は、最大で1つの0を持つ真実の割り当てのみを禁止できます。

編集：おっと、これが既に回答されていることに気づかなかった