なぜ述語論理のために形式的な意味論が必要なのですか？

この質問を解決したと考えてください。それらのすべてが私のトピックの理解に貢献したので、私は最良の答えを選びません。

述語論理のセマンティクスを正式に定義することにより、どのような利点があるかわかりません。しかし、形式的な証明計算を行うことには価値があります。私のポイントは、証明計算の推論規則を正当化するために形式的な意味論を必要としないということです。

「思考の法則」、つまり数学者が数百年にわたって定理を証明するために使用してきた推論規則を模倣する計算法を定義できます。そのような計算はすでに存在します：自然な演duction。次に、この計算を健全で完全であると定義します。

これは、述語論理の形式的なセマンティクスが単なるモデルであることを認識することで正当化できます。モデルの適切性は、直感的にのみ正当化できます。したがって、自然な演ductionが健全であり、正式なセマンティクスを参照して完全であることを示すことによって、自然な演ductionがより「真」にならない。自然な演ofのルールを直観的に直接正当化することも同じくらい良いことです。正式なセマンティクスを使用した迂回路では何も得られません。

次に、自然な演definedを健全で完全であると定義したので、他の計算の健全性と完全性を、それらが生成する証明が自然な演toに変換できることを示すことで示すことができます。

上記の反射は正しいですか？形式的なセマンティクスを参照して証明計算の健全性と完全性を証明することが重要なのはなぜですか？

マイナーなコメント、およびより深刻な答え。

最初に、自然な控除システムを法定で完全に宣言することは意味がありません。自然推定は、一貫性および/または完全性の自然な内部概念、すなわちカット除去を持っているため、まさに興味深いものです。これは素晴らしい定理であり、IMOは純粋に証明理論的なセマンティクスを与える試みを完全に正当化します（CHの対応により、同様にプログラミング言語のセマンティクスにおける操作メソッドの使用を正当化します）。しかし、これは、一貫性よりもロジックを正しくするというより洗練された概念を提供するという理由で、まさに興味深いものです。実証理論の道を進むことは、より多くの仕事をしなければならないことを意味しますが、引き換えに、より強力な結果が得られます。

ただし、ロジック自体が時々発生することがあります二次的な役割を果たします。モデル（のファミリー）から始めて、ロジックを使用して、モデルについて構文的に話す方法を探します。モデルファミリに関するロジックの健全性と完全性は、ロジックがモデルのクラスについて言える興味深いことと真実のことの両方を実際にキャプチャしていることを示しています。モデルが論理理論よりも興味深い場合の具体例は、プログラム分析とモデル検査で発生します。そこで、通常行うべきことは、モデルをプログラムの実行とし、ロジックを時相論理の一部にすることです。これらの言語で言える命題は（意図的に）それほどエキサイティングではありません（たとえば、nullポインターの逆参照は決して発生しません）。

上記の応答を強化するために、別の視点を追加します。まず、これらの反省は価値があり、多くの人々が同様のアイデアを持っています。哲学では、これは「証明論的セマンティクス」と呼ばれることもあり、Nuel Belnap、Dag Prawitz、Michael Dummettなど、60年代および70年代の作品に訴えています。PerMartin-LöfとJean-Yves Girardもまた、彼らの著作の中でこの立場の変形を提案しているようです。そして、非常に広く言えば、プログラミング言語では、これは「タイプの健全性への構文的アプローチ」です。

問題は、ロジックのルールに個別のセマンティック解釈が必要ないことを受け入れたとしても、それらが自己正当化されていると言ってそれをそのままにしておくことはあまり面白く/有用ではないということです。問題は、形式的なセマンティクスが何を達成するか、そしてより少ない迂回で同じことを達成できるかどうかです。ただし、モデル理論を分析的証明理論と統合するプロジェクトは重要ですが、まだ解決されておらず、カテゴリー論理、ゲームのセマンティクス、およびジラードの「ルーディックス」を含む多くの異なる分野に沿って積極的に追求されています。たとえば、チャールズが述べたことに加えて、モデルを持つことのもう1つの定性的な利点は、具体的な反例を非-定理、そして質問は「直接」アプローチでこれをどのように理解するかです。ルーディックスにヒントを得た回答については、ミケーレ・バサルデラと照井一成の「論理的完全性の意味について」を参照してください。

正式なセマンティクスは、それらを操作するための構文証明規則とは関係なく、微積分の用語の直接的な意味を提供します。正式なセマンティクスがなければ、演rulesの規則が正しいかどうか（健全性）か、十分な規則があるか（完全性）をどのように説明できますか？

自然な控除が生じる前に提案された「思考の法則」がありました。アリストテレスの三段論法はそのようなコレクションの1つでした。それらを健全で完全であると定義していた場合、より高度な論理的手法を開発するのではなく、おそらく今日もそれらを使用しているでしょう。要点は、三段論法が思考の法則を完全に捉えているのなら、なぜさらなる論理を考案する必要があるのか​​ということです。彼らが実際に矛盾していた場合はどうなりますか？形式的証明計算とそれらを接続する健全性および完全性の証明とともにセマンティクスを持つことは、そのような推論システムの価値を判断するための測定棒を提供します。それはもはや孤立していません。

$X\lor \neg X$真の論理は存在しないことを受け入れ、その機会に最も適切な論理を使用して、多元的な態度を採用するべきだと主張する限りです。コンピューター科学者が利用できる多数の論理（線形論理、分離論理、高次の建設的論理、多くの様式的論理、すべて古典的および直観的多様性）を考えると、多元的な態度を採用することはおそらく私たちの多くが二番目に与えていないことですロジックは特定の問題を解決するツールであり、最も適切なものを選択しようとするためです。正式なセマンティクスは、ロジックの適切性を判断する1つの方法です。

正式なセマンティクスを持つもう1つの理由は、述語計算よりもロジックが多いことです。これらのロジックの多くは、特定の種類のシステムについて推論するように設計されています。（モーダルロジックについて考えています）。ここで、システムのクラスは既知であり、ロジックは後から来ます（ただし、歴史的には、これも事実ではありません）。再び、健全性は論理の公理がシステムの「振る舞い」を正しくキャプチャするかどうかを示し、完全性は十分な公理があるかどうかを示します。セマンティクスがなければ、演rulesの規則が十分であり、ナンセンスではないかどうかをどのように知るでしょうか？

純粋に構文的に定義され、正式なセマンティクスを提供するための作業が進行中の1つの例のロジックは、暗号化プロトコルに関する推論のためのBANロジックです。論理的な推論規則は合理的なように思えますが、なぜ正式なセマンティクスを提供するのでしょうか？残念ながら、プロトコルが正しいことを証明するためにBANロジックを使用できますが、そのようなプロトコルに対する攻撃が存在する可能性があります。したがって、少なくとも予想されるセマンティクスに関しては、演rules規則は間違っています。

supercooldaveには同意しますが、論理を特徴付ける推論ルールのセットまたは他のものよりも多くを必要とする別の、より実用的な理由があります：推論ルールの特定のセットは、論理を置くときに直面する種類の問題に答えるのによくない傾向があります使用する。

ヒルベルトシステムとしての公理といくつかのルールのリストで指定されたロジックがある場合、通常、システム内の特定の定理を証明する方法を見つけるのは大変な作業になります。特定の命題がシステムで証明できないことを証明できるようにするため。従来のモデルは、帰納法によってロジック全体を保持するプロパティを証明するのに適しています。

次の4種類のツールは、ほとんどの論理学者が解決したい問題を解決するのに役立ちます。

1. ヒルベルトスタイルのシステムは、論理の論理的結果関係を特徴付けるのに適しています。通常、ライバルモーダルロジックなど、いくつかの論理を分類するのに適しています。
2. Tableauシステムは、決定アルゴリズムの形式化に適しています。通常、ロジックが決定可能な場合、決定アルゴリズムとして終了タブローシステムを見つけることができ、そうでない場合は、半決定手順を提供する潜在的に終了しないタブローシステムを見つけることができます。決定可能性の複雑さ（つまり、ロジックの複雑さのクラス）の上限を表示したい場合、通常、Tableauシステムは最初に見る場所です。
3. Gentzenの自然演ductionや逐次計算などの分析的証明理論は、推論に適した証明の表現を提供し、理論の補間などの有用な特性を証明するのに役立つ分析的証明の概念を提供します。
4. Tarskiスタイルのモデル理論は、ロジックの構文の詳細からほぼ完全に抽象化されているため、多くの場合、ロジックについての推論に適しています。モーダルロジックおよび集合論では、結果の提供が非常に優れているため、それらの論理学者はタブロー理論および分析的証明理論に非常に限られた関心しか持たない傾向があります。

supercooldaveが直観主義の論理に言及したので：除外された中間のルールなしで、モデル理論ははるかに複雑になり、分析的証明理論はより重要になります。通常は選択のセマンティクスです。カテゴリ理論などの代数的手法は、構文の複雑さから抽象化するのに適しています。