タイプスペースの対数またはルート演算とは何ですか？

私は最近、計算の2つの二重性：負のタイプと分数タイプを読んでいました。このペーパーでは、合計タイプと製品タイプを拡張し、タイプa - bとにセマンティクスを提供しますa/b。

加算および乗算とは異なり、べき乗、対数、および根の1つではなく2つの逆関数があります。関数型（a→b）が型理論的なべき乗である場合、型a → b（またはb^a）が与えられたlogb(c)場合、その型または型を持つとはどういう意味a√cですか？

対数と根を型に拡張するのは理にかなっていますか？

もしそうなら、この分野で何か仕事がありましたか？また、その影響を理解する方法に関する良い方向性は何ですか？

カリー・ハワード通信が私を助けてくれることを期待して、私は論理でこれに関する情報を調べてみましたが、役に立ちませんでした。

— エフリー
ソース

回答:

タイプは、場合、底への対数があります。つまり、は指定された位置にある要素のコンテナとことができます。確かに、を取得するためにをどのパワーに上げる必要があるかを尋ねる問題です。 $C$ $X$ $P$ $C \cong P\to X$ $C$ $X$ $P$ $P$ $X$ $C$

対数が存在するときはいつでも、がファンクターであるを操作するのは理にかなっています。つまり、 $\mathop{log}F$ $F$ 。なお、もし $\mathop{log}\!_X(F\:X)$ 、その後、我々は確かに持っている $F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ 、コンテナは私たちにその要素以外の何も面白い伝えないよう：対数を持たない形状を選択してコンテナを。 $F\:1\cong 1$

位置セットの観点から考えると、おなじみの対数の法則が意味をなします

\begin{array}{rcll} l o g （ K 1 ） & = & 0 & 空のコンテナに位置がありません \\ l o g 私 & = & 1 & 1つ、1つの位置のコンテナ \\ l o g （ F \times G ） & = & l o g F + l o g G & コンテナのペア、位置の選択 \\ l o g （ F \cdot G ） & = & l o g F \times l o g G & コンテナのコンテナ、ポジションのペア \end{array}

$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$

我々はまた、獲得ここで、 $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ バインダーの下で。つまり、一部のcodataの各要素へのパスは、対数を反復することにより帰納的に定義されます。例えば、 $Z=\mathop{log}\!_XY$

l o g S t r e a m = l o g_{バツ} （ ν Y 。 バツ \times Y ） = μ Z 。 1 + Z = N a t

$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$

導関数が1ホールコンテキストの型を示し、対数が位置を示すことを考えると、接続が必要です。

F 1 ≅ 1 \Rightarrow l o g F ≅ \partial F 1

$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$

形状の選択がない場合、位置は要素が消された1ホールコンテキストとまったく同じです。より一般的には、常に、形状の選択とその形状内の要素の位置を表します。 $\partial F\:1$ $F$

ルーツについて言うことは少ないのではないかと心配していますが、同様の定義から始めて、自分の鼻をたどることができます。型の対数の使用法については、Ralf Hinzeの「Memo functions、polytypically！」を参照してください。走らなきゃ...

— 養豚家
ソース

ダマン自身からの答え。コナーへようこそ！

— アンドレイバウアー

うーん、私はルートタイプが何であるかを見ることに興味があります。私が間違っていない限り。私はあなたの答えを受け入れますが、もしあなたがルーツについて詳しく説明する時間があれば、それは非常にありがたいです。

— エフリー

これは、何らかの形でln（1 + x）のテイラー級数に関連していますか？

— yatima2975

対数と指数では、Napierオブジェクトを構築するために何が必要ですか？（例：のeような、おそらく一意のオブジェクト∂e = e）

— Rhymoid

私はこの線を追求する仕事を知りませんが、それについて少し考えた結果、この仮説に至りました。指数型の「ルート」は単なるコドメインではなく、指数の「対数」ドメインだけですか？

— マーク・ハーマン
ソース

そうです、あなたの直感は良いと思いますが、結論はずれています。ルート操作と対数操作は、コドメインまたはドメインをそれぞれ「反転」したときに得られるものであり、（コ）ドメイン自体ではありません。問題は、反転とはどういう意味ですか、それが生成するバイナリ型の操作は何ですか？

— エフリー

x^{y}

$x^y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

申し訳ありませんが、私は自分の専門用語で完全に明確ではありません。「対数関数を適用した結果、ルートとは何か」を尋ねるつもりはありません。応援の操作は何だろうと思っています。対数を見つける操作は何ですか。→がexpenentiationである場合、ルート操作の下の2つのタイプは何ですか。対数演算での2つのタイプは何ですか。「引数を逆にする」というのは、ここで説明する時間がないものです。質問を明確にします、ありがとう。

— エフリー

私がリンクした論文はタイプa - bとタイプの意味論を提供しますa / b。操作の対数とルートを削減した結果については心配していませんが、バイナリ型演算子としてのセマンティクスを理解しています。

— エフリー