命題と判断の違いは何ですか？

直観主義型理論にさらされると、命題と判断の微妙な違いに戸惑う。誰がそれらを区別するポイントは何で、何がそれらを区別するかを私に説明できますか？特にカレー-ハワード同型の観点から。

最初に、一般にこれらの用語についてコンセンサスがなく、その定義は動作しているシステムに依存することを知っておく必要があります。直観主義型理論について尋ねたので、Pfenningを引用します。

判断とは、私たちが知っているかもしれないもの、つまり知識の対象です。私たちが実際にそれを知っていれば、判断は明白です。

一方、命題は、Martin-Löfによると、証明のセットです。この解釈では、命題の証明の集合が空の場合、それは偽であり、そうでなければ真です。

命題は、その要素が命題の証明を表すセットとして解釈されます

Nordström等は述べています。一方、古典的な論理および一般に、命題は「true」または「false」のいずれかである言語で表現されたオブジェクトです。

あなたにいくつかの追加の直観を与えるために; 私の観点からすると、判断はメタロジカルであり、命題は論理的です。

私がで「建設的論理」を示唆フランク・フェニング、「証明およびタイプ」ジャン=イヴ・ジラールによると、「マーティン・LOFのタイプ論にプログラミング」ベングトノードストロームら。3つはすべてインターネットで無料で利用できます。最後のものは、おそらくプログラミングに焦点を当てており、これらの用語の意味などについて詳細に詳細に説明しているため、おそらくあなたが望むものに最も近いでしょう。

おそらく、形而上学的ではない答えをしようとすることができます。

私たちが勉強している言語、論理的な言語があります。この言語には、「命題」と呼ばれるものがありますが、これは真または偽のことを想定しています。

メタ言語があります。これは論理言語でもあり、ベース言語のどのものが真か偽かを説明しようとしています。このメタ言語で行う声明は「判断」と呼ばれます。

基本言語のすべての命題には、メタ言語のデータのステータスがあることに注意してください。彼らは文字列と同じくらい良いです。文字列が真か偽かを尋ねることはできません。判断は、文字列を命題として解釈し、それが真であるか偽であるかを判断するインタープリターです。

他の回答がより網羅的だった場合は、短くなるようにします。「バトラーがやった」と言っているテキストには違いがあります。、マープル夫人は「執事がやった」と宣言した。2番目のケースでは、執事は自由を失うかもしれません。

でマーティン-LOFの型理論、判断はの一部である言語行為。4つの判断（またはウィキペディアによると5つの判断）があります。

• （ Aはタイプ/セット/命題）、$A \ \mathsf{Type}$$A$
• （ Sはメンバーの/証明である A）、$s : A$$s$$A$
• （ sと tは等しいメンバー/ Aの証明）、$s=t : A$$s$$t$$A$
• （ Aと Bは等しいタイプ/セット/命題）、$A=B$$A$$B$
• （ Γよく形成されているコンテキスト）。$\Gamma \ \mathsf{Context}$$\Gamma$

これが何を意味するのかを理解するには、フレーゲに戻らなければなりません。Fregeのターンスタイルシンボル は、演説です。それはコンテンツを主張します（それに続くものであり、判断です）。でマーティン・LOFのタイプの理論我々は、上記の4（5？）の判断を持っています。これらの理論では、命題は単なるタイプです。$\vdash$

が命題であると仮定しましょう。次に、Aはタイプです。tがタイプAの項であると仮定しましょう。そして、T ：Aは、判断が（とあなたが考えることができているtはの証であるA）。今、私たちはそれは我々が使用された場合に場合、ある主張することができます⊢ トンを：A。$A$$A$$t$$A$$t : A$$t$$A$$\vdash t:A$

アンソニーの答えの提案にマイケルビーソンの「建設的数学の基礎」を追加します。Martin-Löfは彼の理論を非常にうまく説明するいくつかの講演を行ったが、残念なことにそれらのほとんどは彼によって公開された形になっていない（しかしこのウェブサイトをチェックする）。

判断は、次の2つのことの組み合わせです。

1. $P$
2. $\cal A$

${\cal A} [P]$

$[P]$$[P]$$[T]$$H_1, \dots, H_n \vdash A_1, \dots, A_n$、一部のロジックでは、ロジックの言語の命題と些細なことではありません。そのため、かなり基本的な古典的論理にはさまざまな種類の命題が見られます。

Martin-Löfの型理論は、次の3つの理由により、より複雑な判断ファミリーに頼っています。まず、依存型です。つまり、命題は用語内の構文エンティティとして発生します。第二に、彼は文法を使用して記号の文字列が有効な用語および命題であると定義しましたが、推論システムを使用してそうしました。そのような型付き理論の命題は一般に文脈自由ではないため、合理的なことです。第三に、彼はしばしば命題平等と呼ばれる新しい平等の理論を考案しました。これはベータイータ理論（またはいくつかの変形では、ベータ理論のみ）を活用し、2つの用語が同じ正規形を共有するという判断は、 2つの用語のベータ/イータ等価性–再び妥当、

ベータ/イータの等価性を表す判断は、それほど難なく除去することができます-命題の等価性の導入規則の根拠は、2つの用語がベータ等価であるということです（ベータ-イータ等価性はやや問題が多い）生息タイプという用語ははるかに扱いにくいものです。私がこれを行うために考えることができる最も悪い方法は、用語文法で型推論を再構築することです。

クレーム、提案、陳述はすべて同じです。しかし、裁決とは、（正しいか間違っているかを問わず）検証、承認、または結論として使用された提案です。上記の答えのような派手な式は不要です...