タグ付けされた質問 「graph-algorithms」

ヒューリスティックを除くグラフのアルゴリズム。

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Eppsteinのアルゴリズムを使用してk個の最短パスを見つける
この論文のエップシュタインのアルゴリズムによるパスグラフ仕組みと、対応するヒープ構造してからへの最短パスを再構築する方法を理解しようとしています。P(G)P(G)P(G)kkkssstttH(G)H(G)H(G) これまでのところ： out(v)out(v)out(v)は、最短パスの一部ではないグラフ頂点を残すすべてのエッジが含まれます。最短経路上のエッジの代わりにこのエッジを使用すると、と呼ばれる「時間の無駄」によってヒープ順に並べられます。ダイクストラを適用することにより、からすべての頂点への最短経路を見つけます。vvvGGGGGGδ(e)δ(e)\delta(e)ttt Iは、エッジの長さ+（頭頂点（有向枝が指している場合）の値を取ることによって、これを計算することができる- 。有向エッジが開始されるテール頂点（）の値を、これがある場合、それ場合、最短経路上にありません>0>0> 0=0=0= 0、それは最短パス上にあります。 今は2分ヒープ構築Hout(v)Hout(v)H_{out}(v)のエッジのセットをheapifyingによってout(v)out(v)out(v)、それらに従ってδ(e)δ(e)\delta(e)任意用v∈Vv∈Vv \in Vルート、outroot(v)outroot(v)outroot(v)は子（=サブツリー）が1つしかありません。 構築するために IインサートO U T R O O T （V ）でH T（N E X T T（V ））端子頂点から始まるT。挿入中に頂点が何らかの方法でタッチされるたびに、*のマークが付けられます。HT(v)HT(v)H_T(v)outroot(v)outroot(v)outroot(v)HT(nextT(v))HT(nextT(v))H_T(next_T(v))ttt∗∗* 今は構築することができるの残りの部分を挿入することによって、H O U T（W ）でH T（V ）。内のすべての頂点H Gは、（V ）のいずれか含ま2から子供H T（V ）と1からH O U T（W ）又は0第から2秒〜を3ヒープです。HG(v)HG(v)H_G(v)Hout(w)Hout(w)H_{out}(w)HT(v)HT(v)H_T(v)HG(v)HG(v)H_G(v)222HT（v ）HT(v)H_T(v)111HO U T（w ）Hout(w)H_{out}(w)000222 Iを構築することができるDAGと呼ばれるD （G ）ごとに頂点を含有*から-marked頂点H T（V ）と各非ルート頂点に対するからH …
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2つのアルゴリズムが「類似」と言われるのはいつですか？
私は理論的には仕事をしていませんが、私の仕事には理論論文を時々読む（そして理解する）必要があります。（一連の）結果を理解したら、これらの結果を一緒に働く人々と話し合いますが、ほとんどの人は理論的にもうまくいきません。そのような議論の1つで、次の質問が出されました。 与えられた2つのアルゴリズムが「類似」していると言うのはいつですか？ 「類似」とはどういう意味ですか？査読者を混乱させたり煩わせたりすることなく、論文で次の主張のいずれかを行うことができる場合、2つのアルゴリズムは類似していると言えます（より良い定義を歓迎します）： 請求項1「アルゴリズムアルゴリズムと同様であり、、また、問題の解決」AAABBBXXX クレーム2.「アルゴリズムはアルゴリズム似ています」CCC 少し具体的にしましょう。グラフアルゴリズムを使用しているとします。最初に、2つのアルゴリズムが類似するためのいくつかの必要条件： 彼らは同じ問題を解決しなければなりません。 彼らは、同じ高レベルの直感的なアイデアを持っている必要があります。 たとえば、グラフトラバーサル、幅優先、深さ優先のトラバーサルについては、上記の2つの条件を満たすことができます。最短経路の計算では、幅優先アルゴリズムとダイクストラのアルゴリズムが上記の2つの条件を満たします（もちろん、重み付けされていないグラフの場合）。等 これらも十分な条件ですか？より具体的には、2つのアルゴリズムが類似するために必要な条件を満たすと仮定します。もしあなたが本当にそれらを同様に呼んでもらえますか？ 彼らは異なる漸近的なパフォーマンスを持っていますか？ グラフの特別なクラスでは、1つのアルゴリズムは時間を必要とし、もう1つのアルゴリズムは時間を必要としますか？Ω(n)Ω(n)\Omega(n)O(n1/3)O(n1/3)O(n^{1/3}) それらは異なる終了条件を持っていますか？（同じ問題を解決していることを思い出してください） 前処理ステップは2つのアルゴリズムで異なりますか？ メモリの複雑さは2つのアルゴリズムで異なりますか？ 編集：質問は明らかに文脈依存であり、主観的です。ただし、上記の5つの条件でいくつかの提案が得られることを期待していました。回答を得るために必要な場合は、質問をさらに修正し、詳細を提供させていただきます。ありがとう！
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多項式時間で最小幅のツリー分解をリーンにする
よく知られているように、グラフツリー分解は、各頂点バッグが関連付けられたツリーで構成され、次の条件を満たす。T T V ⊆ V （G ）V ∈ V （T ）GGGTTTTv⊆V(G)Tv⊆V(G)T_v \subseteq V(G)v∈V(T)v∈V(T)v \in V(T) すべての頂点は、バッグに発生します。TGGGTTT すべてのエッジには、エッジの両方のエンドポイントを含むバッグがあります。GGG すべての頂点について、を含むバッグは接続されたサブツリーを誘導します。V Tv∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)vvvTTT また、分解からleannessと呼ばれる次の条件を要求する場合があります。 バッグのすべてのペアのために、の、もしとと、その後のいずれか）が存在する頂点互いに素のパス、又はB）ツリー、エッジ含まノードからの経路上のノードにようにおよびセットはすべてのパスと交差します。TaTaT_aTbTbT_bTTTA⊆TaA⊆TaA \subseteq T_aB⊆TbB⊆TbB \subseteq T_b|A|=|B|=k|A|=|B|=k|A| = |B| = kkkkA−BA−BA-BGGGTTTpqpqpqaaabbb|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq kV(Tp)∩V(Tq)V(Tp)∩V(Tq)V(T_p) \cap V(T_q)A−BA−BA-BGGG ロビン・トーマスは、最小幅のツリー分解が常にあり、これもリーンであることを示しました。この事実のより単純な証拠は、たとえばパトリック・ベレンバウムとラインハルト・ディーステルによっていくつかの著者によって提供されました。 グラフ与えられた：私は何に興味を持ってすることは次のとおりであるとの最小幅木分解、我々は最小幅見つけることができます リーンの木分解多項式時間では？GGGGGGGGG 上記の2つの証明では、このような効率的な建設性は得られません。ベレンバウムとディーステルの論文では、「トーマスの定理のもう一つの（より建設的な）短い証明が、P。ベレンバウム、シュランケ・バウムツェルグンゲン・フォン・グラフェン、ディプロマルベイト、ハンブルグ大学2000で与えられた」と述べられている。残念ながら、私はオンラインで原稿を見つけることができず、私のドイツ語はそれほど素晴らしいものではありません。
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このタイプの有向グラフ問題の名前は何ですか？
エッジが自然数で装飾されている有向グラフを取得します。2つの頂点と間のすべてのパスセットは、パス内の連続する各エッジが前のエッジを装飾する自然数よりも大きい自然数で装飾されるようにしたいです。GGGPPPv1v1v_1v2v2v_2 このアプリケーションは、バスまたは電車のスケジュールになります。駅間の移動に基づいて2つの都市間の異なるルートを決定しようとしている場合。（最初の列車が到着する前に出発する予定の2番目の列車に乗ることはできません。） これを非公式に「スケジュールグラフ」と呼んでいます。しかし、私は文学でこれの名前が何であるかを知りません。 これに関連するアルゴリズムへの参照も興味深いものです。
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モジュラー分解とクリーク幅
モジュラー分解とクリーク幅グラフに関するいくつかの概念を理解しようとしています。 この論文（「P4-きちんとグラフに」）、モジュール分解を用いてクリーク数または波長数状最適化問題を解決する方法の証拠があります。G1とG2の答えがわかれば、2つのグラフG1、G2を（互いに素な和または素な和集合を使用して）合成してこれらの問題を解決するのは簡単です。P4-tidyグラフの分解に関するプライムグラフは有界グラフ（つまり、C5、P5など）であるため、これらの「ベースケース」については簡単に解決でき、それから合成については簡単に解決できます。したがって、分解ツリーを使用すると、これらの問題を線形時間で解決できます。 しかし、この手法は、グラフの素数が制限されているグラフクラスで機能すると思われます。次に、この論文「有界クリーク幅のグラフ上の線形時間可解最適化問題」を見つけました。これは、私が探していた一般化を行っているようですが、それをよく理解できませんでした。 私の質問は： 1-分解ツリーのプライムグラフは有界（P4-tidy graphsの場合のように）であり、グラフには「クリーク幅」プロパティが有界であると言うのと同等ですか？ 2- 1の答えがNOの場合：グラフ素数の境界を持つグラフのクラス（P4-tidyグラフのような）に関する結果が存在するため、これらすべてのクラスの線形時間で解けるクリーク数のような最適化問題？
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モジュラー分解のリファレンス
Modular Decompositionのパワーとその特性をよりよく理解するための優れた論文/本は何ですか？ モジュラー分解のアルゴリズム面に特に興味があります。線形時間でグラフのモジュラー分解を見つけることができると聞いたことがあります。そのための比較的単純なアルゴリズムはありますか？それほど効率的ではないが単純なアルゴリズムはどうですか？
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NPでのスーパーマリオフロー？
max-flow問題の古典的な拡張の1つは、「max-flow over time」問題です。2つのノードがソースとシンクとして区別される有向グラフが与えられます。 -単位時間と遅延。時間範囲も与えられます。目標は、時間ソースからシンクへの材料の最大量を取得する経時的なフローを計算することです。最大値のフローは、min-cost max-flowへの巧妙な古典的還元により、多項式時間で計算できます。TTTTTTT エッジに3番目の「寿命」パラメータがあるこのモデルの拡張に興味があります。アークに寿命があり、がアークを通して正のフローが送信される最も早い時間である場合、時間アークを破壊します。これは、スーパーマリオブラザーズの踏み台のように考えることができます。踏みつけた直後に落下するか破壊されるか、電源を入れると電源を切ることのできないエッジの電源に必要なバッテリーと考えることができます。 。（編集 :)決定問題は、フロー値の下限も与えられた場合、時間範囲の上限とフロー値の下限の両方を満たすフローをスケジュールできるかどうかです。TのT + ℓのBℓℓ\elltttt + ℓt+ℓt+\ellBBB これまでのところ、この問題はNP困難であることがわかります（3パーティション経由）。しかし、私はそれがNPにあるかどうか実際にはわかりません：ソリューションをコンパクトに表現する方法の保証はありますか？古典的なバージョンでは、この問題を回避するために、いくつかの特別なタイプの最適なフローが使用されます。 注：上記のモデルは、ノードでのフローの備蓄を許可または禁止する場合があり、離散時間モデルまたは連続モデルを持つ場合があるため、少し仕様が不十分です。これらのモデルのいずれかの問題を解決することは素晴らしいことです。
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頂点ラベリングの「ローカル」関数を結合するためのグラフ分解
私たちが見つけたいとし ∑バツ∏I J ∈ Ef（x私、xj）∑バツ∏私j∈Ef（バツ私、バツj）\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j) または 最大バツ∏I J ∈ Ef（x私、xj）最大バツ∏私j∈Ef（バツ私、バツj）\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j) Vのすべてのラベル付けでmaxまたはsumが取られる場合VVV、積はグラフG = \ {V、E \}のすべてのエッジEEEで取られ、fは任意の関数です。この量は、有界ツリー幅グラフでは簡単に、一般的に平面グラフではNP困難です。適切な色の数、最大独立集合、およびオイラー部分グラフの数は、上記の問題の特別な例です。この種の問題、特に平面グラフの多項式時間近似スキームに興味があります。どのグラフ分解が有用でしょうか？G = { V、E}G={V、E}G=\{V,E\}fff 編集11/1：例として、統計物理学のクラスター展開（つまり、マイヤー展開）に類似するかもしれない分解について疑問に思っています。fffが弱い相互作用を表す場合、そのような展開は収束します。つまり、グラフのサイズに関係なく、展開のkkk項で所定の精度を達成できます。これは、量に対するPTASの存在を意味しませんか？ 2011年2月11日更新 高温膨張は、高次の項が高次の相互作用に依存する項の合計としてパーティション関数ZZZを書き換えます。「相関が減衰する」場合、高次の項は十分に速く減衰するため、ZZZの質量のほぼすべてが有限数の低次の項に含まれます。 たとえば、イジングモデルの場合、次のパーティション関数の式を考慮してください。 Z= ∑X ∈ XexpJ∑I J ∈ Eバツ私バツj= c ∑A ∈ C（タンJ）| A |Z=∑バツ∈バツexp⁡J∑私j∈Eバツ私バツj=c∑A∈C（タン⁡J）|A|Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i …
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4サイクルの自由なグラフ
以下のように-cycle問題は次のとおりです。kkk インスタンス： Anがグラフ無向有する頂点と最大たエッジを。GGGnnn(n2)(n2)n \choose 2 質問：（適切な）サイクルが存在しますか？kkkGGG 背景：任意の固定kについて、O（n ^ 2）時間で2kサイクルをkkk解くことができます。2k2k2kO(n2)O(n2)O(n^2) ラファエル・ユースター、ウリ・ツウィック：サイクルの発見をさらに高速化。SIAM J. 離散数学。10（2）：209-222（1997） ただし、3サイクル（3クリーク）を行列乗算時間未満で解決できるかどうかは不明です。 私の質問：GGGに4サイクルが含まれていないと仮定すると、O(n2)O(n2)O(n^2)時間で3サイクルの問題を解決できますか？ Davidは、O(n2.111)O(n2.111)O(n^{2.111})時間で3サイクル問題のこのバリアントを解決するためのアプローチを提案しました。
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kクリークの2FA状態の複雑さ？
単純な形式で： 双方向の有限オートマトンが認識できると三角形含ま-vertexグラフO （V 3）の状態を？vvvo(v3)o(v3)o(v^3) 詳細 興味深いのは、ここにエッジのシーケンスを用いて符号化-vertexグラフは、より明確な頂点のペアである各エッジ{ 0 、1 、... 、V - 1 }。vvv{0,1,…,v−1}{0,1,…,v−1}\{0,1,\dots,v-1\} 仮定ように、双方向有限オートマトン（決定論的または非決定論的）の配列であるが、M個のVは認識K上-CliqueをVの -vertex入力グラフと有しS （V ）状態。質問の一般的な形式は次のとおりです。Is （v ）= Ω （v k）？(Mv)(Mv)(M_v)MvMvM_vkkkvvvs(v)s(v)s(v)s(v)=Ω(vk)s(v)=Ω(vk)s(v) = \Omega(v^k) もし及びS （V ）≥ のV K （V ）無限に多くのためのV、その後、NL≠NP。したがって、それほど野心的ではないので、私はkが固定され、k = 3のケースが最初の重要なケースであると規定しています。k=k(v)=ω(1)k=k(v)=ω(1)k = k(v) = \omega(1)s(v)≥vk(v)s(v)≥vk(v)s(v) \ge v^{k(v)}vvvkkkk=3k=3k=3 バックグラウンド 双方向有限オートマトン（2FA）は、ワークスペースを持たないチューリングマシンであり、内部状態の数は固定されていますが、読み取り専用の入力ヘッドを前後に移動できます。対照的に、通常の種類の有限オートマトン（1FA）は、読み取り専用入力ヘッドを一方向にのみ移動します。有限オートマトンは、決定性（DFA）または非決定性（NFA）であり、入力への一方向または双方向のアクセスが可能です。 グラフプロパティは、グラフのサブセットです。レッツQのvが示すVのプロパティで-vertexグラフをQ。すべてのグラフプロパティQについて、可能なすべてのグラフの状態を使用し、Qに従ってラベル付けし、ラベル付けされた状態間の遷移により、言語Q vは最大2 v （v − 1 ）/ 2状態の1DFAで認識できますエッジによって。 したがって、Q …
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クラスカルのアルゴリズムのこの高密度バージョンはよく知られていますか？
約1年前、友人と私は、通常のバウンドよりも優れた密度のグラフのクラスカルのアルゴリズムを実装する方法を考えました（事前にソートされたエッジを想定せずに）。具体的には、隣接行列を使用して実装された場合のプリムと同様に、すべての場合でを実現します。O （m ログm ）O（mログ⁡m）O(m \log m)Θ （n2）Θ（n2）\Theta(n^2) C ++コードやベンチマークなど、アルゴリズムについて少しブログに投稿しましたが、一般的な考え方は次のとおりです。 接続されたコンポーネントごとに1つの代表ノードを維持します。最初は、すべてのノードが自分自身を表しています。 dist[i]すべてのコンポーネントについてi、に入射するコンポーネント交差エッジが最も軽いようにベクトルを維持しiます。 パーティションを横切る最も軽いエッジを見つけるとき、線形時間でiの重みを最小にする単純なものを見つけますdist[i]。 接合2つの成分が場合と、隣接行列変更、そのような今ですべてのコンポーネントのためのK、及びマーク接続されたコンポーネントの代表ではなくなったi（jのみが残ります）。c私c私c_icjcjc_jAAAAi,k=min{Ai,k,Aj,k}Ai,k=min{Ai,k,Aj,k}A_{i, k} = \min \{A_{i, k}, A_{j, k}\}kkkiiijjj したがって、最も軽いエッジの収縮と前記エッジの検出の両方を線形時間で行うことができます。これをn−1n−1n - 1回実行して、MSTを見つけます。MSTにどのエッジを追加するかを実際に見つけるには、少しの簿記が必要ですが、複雑さは増しません。したがって、ランタイムはΘ(n2)Θ(n2）\Theta(n^2)です。実装は、forループのほんの一部です。 クラスカルのこのバージョンは文献でよく知られていますか？
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ハミルトニアンパスにマッチングを追加して、指定された頂点のペア間の最大距離を短縮します
次の問題の複雑さは何ですか？ 入力： K nHHHハミルトン経路でKnKnK_n R ⊆ [ N ]2R⊆[n]2R \subseteq [n]^2頂点のペアのサブセット 正の整数kkk クエリ：すべての、一致する がありますか？ （ここで）（V 、U ）∈ R D G（V 、U ）≤ K G = （[ N ] 、M ∪ H ）MMM（V 、U ）∈ R（v、あなたは）∈R(v,u) \in RdG（V 、U ）≤ KdG（v、あなたは）≤kd_G(v,u) \leq kG = （[ n ] 、M∪ H）G=（[n]、M∪H）G = ([n], …
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最長のトレイルの問題は、最長のパスの問題よりも簡単ですか？
最長パスの問題はNPハードです。（典型的？）証明は、ハミルトニアンパス問題（NP完全）の縮小に依存しています。ここでは、パスは（ノード）シンプルであることに注意してください。つまり、パス内で頂点を複数回使用することはできません。したがって、明らかにエッジシンプルでもあります（パスでエッジが複数回発生することはありません）。 それでは、（ノード）シンプルパスを見つける要件を破棄し、エッジシンプルパス（トレイル）を見つけることに固執する場合はどうでしょう。一見、オイラーの小道を見つけることはハミルトニアンの道を見つけることよりもはるかに簡単なので、最長の道を見つけることは最長の道を見つけることよりも簡単であるという希望があるかもしれません。ただし、アルゴリズムを提供するものは言うまでもなく、これを証明する参考文献は見つかりません。 ここで行われた引数を知っていることに注意してください：https : //stackoverflow.com/questions/8368547/how-to-find-the-longest-heaviest-trail-in-an-undirected-weighted-graph ただし、引数これは、異なるグラフでノード単純なケースを解くことでエッジ単純なケースを解決できることを基本的に示しているため、現在の形式には欠陥があるようです（削減は間違った方法です）。他の方法でも機能するように削減を簡単に変更できるかどうかは明らかではありません。（それでも、少なくとも最長の問題は最長の問題より難しくないことを示しています。） 最長のトレイル（エッジシンプルパス）を見つけるための既知の結果はありますか？複雑さ（クラス）？（効率的な）アルゴリズム？
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信念伝播法の実行時間の理論的保証？
確率伝播は、確率的グラフィカルモデルの研究を通じて非常に強力な方法であることが示されています。 ただし、BPについては#P完全問題の完全な多項式ランダム化近似スキーム（FPRAS）を使用できるMCMCメソッドに匹敵するものは何も知りません。 誰かが私にいくつかの参考文献を教えてくれますか？
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有界ツリー幅グラフ上のr支配集合の正確なアルゴリズム
グラフ、与えられた、私は最適な検索したい用-domination。それは私がサブセット必要であり、の内のすべての頂点のようにせいぜいの距離にあるの一部の頂点からのサイズ最小化しながら、。r G S V G r S SG = （V、E）G=(V,E)G = (V, E)rrrGGGSSSVVVGGGrrrSSSSSS 発見のこの関連問題があります：私は今のところ確認されているものから、私は次のようだのサブセットであるグラフで-centerを最大でサイズのをグラフのすべての頂点があるように頂点から最大距離で（ここでとは両方とも入力の一部です）、Demaine et al。平面グラフ用のFPTアルゴリズムがあります。それ以外の場合、問題はでも -hardです。S k r S | S | ≤ k個のR（k 、r ）(k,r)(k,r)SSSkkkrrrSSS| S| ≤K|S|≤k|S| \leq krrrr = 1W[ 2 ]W[2]W[2]r = 1r=1r = 1 有界ツリー幅グラフまたはツリーだけの支配問題の正確な複雑さについて何か知られていますか？（支配MSOは定義可能ですか？通常の支配集合問題はMSO定義可能です-これにより、Courcelleの定理を使用して、問題の線形時間アルゴリズムがあると結論付けることができます）。この問題に関して条件付き硬さの結果はありますか？r krrrrrrkkk
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