タグ付けされた質問 「expanders」

エクスパンダは、いくつかの方法のいずれかで測定された、「拡張」が高いスパース（低次数）グラフです。通常、サブグラフの境界のサイズとサブグラフのボリュームの最小比率に似ています。

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グラフのスペクトル分割に関するクレジット
場合無向である -regularグラフ及びカーディナリティの頂点のサブセットである、呼び出しエッジ膨張の量をD S ≤ | V | / 2G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)dddSSS≤ | V| / 2≤|V|/2\leq |V|/2SSS ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|ϕ（S）：=Edges（S、V−S）d⋅|S|⋅|V−S|\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|} ここで、内の1つのエンドポイントとエッジの数であり、とで一方のエンドポイント。そして、拡張エッジの問題は、設定された見つけることですで最小にする。最適セットの展開と呼びます。A BEdges(A,B)Edges（A、B）Edges(A,B)AAABBB| S | ≤ | V | / 2 ϕ （S ）ϕ （G ）SSS|S|≤|V|/2|S|≤|V|/2|S|\leq |V|/2ϕ(S)ϕ(S)\phi(S)ϕ(G)ϕ(G)\phi(G) スペクトル分割アルゴリズムエッジ拡張の問題のためには、固有ベクトル見つけることによって動作しの二番目に大きい固有値のの隣接行列、およびすべての``しきい値セット「」考慮形のすべてのしきい値を超える。我々が許可すればの二番目に大きい固有値であるマトリックス、最良の閾値を設定することをスペクトル分割アルゴリズムショーの分析アルゴリズムを満足することにより見出さA G S { V ：X （V ）≤ T } T λ …
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スパースグラフの正則性補題
Szemerediの正則性補題は、すべての密なグラフは多くの2部展開グラフの和集合として近似できると述べています。より正確には、ほとんどの頂点のセットへのパーティションがあり、セットのほとんどのペアが2部展開器を形成します（パーティション内のセットの数と展開パラメーターは近似パラメーターに依存します）。O(1)O(1)O(1)O(1)O(1)O(1) http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma 「良好な」スパースグラフ用のこの補題には、次のようなバージョンがあります。 http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf これらの定式化について私が驚いたのは、パーティション内のセットのほとんどのペアが二部エキスパンダーを形成することだけを保証し、これらの二部エキスパンダーが空であることです。そのため、一般的なスパースグラフでは、頂点のパーティション内の異なる部分間のすべてのエッジがエキスパンダーに属していない可能性が非常に高くなります。 パーツ間のほとんどのエッジがエキスパンダーからのものであることを示す定式化があるのか​​、それともそのような定式化の希望がないのだろうか。
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スペース効率の良い「産業用」アンバランスエクスパンダー
「良い」「スペース効率の良い」アンバランスなエキスパンダーを探しています。具体的には、2部構成の左正規グラフ、| A | = n、| B | = M左度と、であるいずれかの場合-expander高々サイズのの異なる近隣の数における少なくともある。確率的手法では、次のようなグラフが得られることが知られています。G = （A 、B 、E）G=(A,B,E)G=(A,B,E)| A | =n|A|=n|A|=n| B | =m|B|=m|B|=m（K 、ε ）S ⊂ A K S B （1 - ε ）D | S | d = O （log （n / k ）/ ϵ ）ddd（k 、ϵ ）(k,ϵ)(k,\epsilon)S⊂ AS⊂AS \subset AkkkSSSBBB（1 − ϵ …
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ポリトープ（まともな）エキスパンダーのエッジ頂点グラフはありますか？
この質問は、多項式ヒルシュ予想（PHC）に触発されています。ファセットポリトープが与えられた場合、そのエッジ頂点グラフ（と呼ぶ）のスペクトルギャップはによって下限が設定されていますか？n頂点のサイクルグラフは、d = 2の場合でも、スペクトルギャップはO （1 / p o l y（n ））と同じくらい小さい可能性があることを示していることに注意してください。そのため、推測された範囲は（もし本当なら）ほぼタイトになります。nnnPPPRdRd\mathbb R^dGGGΩ （1 / p o l y（n ））Ω（1/poly（n））\Omega(1/\mathrm{poly}(n))nnnd= 2d=2d=2O （1 / p o l y（n ））O（1/poly（n））O(1/\mathrm{poly}(n)) はいの答えは、PHCを意味します。実際、ポリトープの頂点をランダムウォークするだけで線形プログラムを効率的に解くことができ、このアルゴリズムは目的関数にあまり注意を払っていません！これは本当であるにはあまりにも良いようです。 それで、この問題の状態は何ですか：オープン（PHCなど）、または偽ですか？falseの場合、単純な反例はありますか？ 注：エキスパンダーの定義に伴う通常の複雑さについて理解しましたは規則的または2部構成である必要はありません。これらの技術的な問題の両方が標準的な方法を使用して克服できることを望みます。特に、これらが私の質問を些細なものにしないことを願っています。（間違っている場合は修正してください！）GGG
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エキスパンダーグラフのNPハード問題？
EXPANDER GRAPHS- 2006年のプレゼンテーションでは、ミステリーは残っていますか？ 、Nati Linialは次の未解決の問題を提起しました。 エキスパンダーグラフに制限された場合、グラフ上のどのな計算問題は困難なままですか？NPNPNP それ以来、な問題に対するそのような結果を証明するための進展はありましたか？NPNPNP
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通常のグラフのコンダクタンスと直径
無向、正則グラフ所与、その直径との関係は何である-として定義され、そのコンダクタンス- 2つのノード間の最大距離として定義される分S ⊂ V E （S 、SのC）G=(V,E)G=（V、E）G=(V,E)ここでe（S、Sc）はSとScの間で交差するエッジの数です。minS⊂V e(S,Sc)min(|S|,|Sc|),分S⊂V e（S、Sc）分（|S|、|Sc|）、\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},e(S,Sc)e（S、Sc）e(S,S^c)SSSScScS^c より具体的には、直径が少なくとも（または最大）であることを知っていると仮定します。これは、コンダクタンスについて何か教えてくれますか？そして、逆に、コンダクタンスが最大（または少なくとも）αであることを知っていると仮定します。これは、直径について何か教えてくれますか？DDDαα\alpha
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から
オーマー・レインゴールドの証拠その（でUSTCONのアルゴリズムを与えるU特別な頂点を持つグラフをndirectedと、それらはコンのみログ・スペースを使用してnected？）。基本的な考え方は、元のグラフからエキスパンダーグラフを作成し、エキスパンダーグラフ内をウォークすることです。拡張グラフは、元のグラフを対数的に何回も二乗することによって作成されます。エキスパンダーグラフでは、直径は対数のみであるため、対数深度のDFS検索で十分です。L=SLL=SLL=SLsssttt 結果を拡張すると、DSTCONのログスペースアルゴリズムが存在することを意味します。これは、Dグラフの場合と同じですが。（時にはSTCONだけかもしれません。）私の質問は、たぶんやや柔らかいですが、それに対してReingoldの証明を拡張する主な障害は何ですか？L=NLL=NLL=NL 一種の「有向エキスパンダー」グラフがあるはずです。同様の種類の構造。中程度の長さの有向パスに対応するエッジを追加し、次に長いパスに対応するエッジを追加します。そして、短いパスを移動して長いパスに到達することにより、対数の深さでグラフをトラバースできます。その後、最後に短いパスに戻ります。 この概念に大きな欠陥はありますか？それとも、そのようなエキスパンダーの良い構造がないのですか？それとも、無向バージョンよりも多くのメモリを必要としますか？ 残念ながら、有向エキスパンダーグラフではまったく見つけられません。実際、本質的に私が見つけられたのは/math/2628930/how-can-one-construct-a-directed-expander-graph-with-varying-degree-distribution（未回答）でした。およびhttps://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1202&context=cis_papers。別の用語で検索する必要がありますか？
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確定的エラーの削減、最先端ですか？
rビットのランダム性を使用するランダム化（BPP）アルゴリズムAAAします。選択したδ > 0に対して、成功確率を1 - δに増幅する自然な方法は次のとおりです。rrr1−δ1−δ1-\deltaδ>0δ>0\delta>0 独立した実行+多数決：AAA個別にT=Θ(log(1/δ)T=Θ(log⁡(1/δ)T=\Theta(\log(1/\delta)回実行し、出力の多数決を取ります。これにはrT=Θ(rlog(1/δ))rT=Θ(rlog⁡(1/δ))rT =\Theta(r\log(1/\delta))のランダム性が必要です。T=Θ(log(1/δ))T=Θ(log⁡(1/δ))T=\Theta(\log(1/\delta))係数で実行時間を爆発させます。 ペアごとに独立した実行+チェビシェフ：AAA「ペアごとに独立して」T=Θ(1/δ)T=Θ(1/δ)T=\Theta(1/\delta)回実行し、しきい値と比較します。これにはrT=Θ(r/δ)rT=Θ(r/δ)rT =\Theta(r/\delta)ビットのランダム性が必要で、実行時間をT=Θ(1/δ)T=Θ(1/δ)T=\Theta(1/\delta)因子。 Karp、Pippenger、およびSipser [1] （明らかに、私は論文自体に手を入れることができなかった、それは中古のアカウントです）強力な通常のエキスパンダーに基づく代替アプローチを提供しました：基本的に、エキスパンダーの2r2r2^rノードを参照してくださいランダムシードとして。rrrランダムビットを使用してエキスパンダーのランダムノードを選択し、 短いランダムな長さのウォーク行うT=Θ(log(1/δ))T=Θ(log⁡(1/δ))T=\Theta(\log(1/\delta))そこから、実行AAA上TTT種子は多数決を取る前に、パス上のノードに対応します。これにはr+T=r+Θ(log(1/δ))r+T=r+Θ(log⁡(1/δ))r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))ビットのランダム性が必要であり、T=Θ(log(1/δ))T=Θ(log⁡(1/δ))T=\Theta(\log(1/\delta))係数で実行時間を爆発させます。 多数決を行う前に、現在のノードのすべてのネイバー（または、より一般的には、現在のノードの距離c内にあるすべてのノード）でAAAを実行します。これにはrビットのランダム性が必要で、T = dファクターで実行時間を爆破します。dは次数（または距離c近傍の場合はd c。パラメーターを適切に設定すると、T = poly （1 / δ ）こちら。cccrrrT=dT=dT=dddddcdcd^ccccT=poly(1/δ)T=poly⁡(1/δ)T=\operatorname{poly}(1/\delta) 決定論的エラーの削減に対応する最後の項目に興味があります。依存性還元後の任意の改善[1]、があったTTT上のδδ\delta？何が現在の最高の達成可能- 1/δγ1/δγ1/\delta^\gammaいるためγ>1γ>1\gamma > 1？γ>0γ>0\gamma > 0？（BPPBPP\textsf{BPP}？RPRP\textsf{RP}？） 注：BPPではなくRPRP\textsf{RP}にも（非常に）興味があります。[2]で紹介したように、関連する構造は、もはやパンダではありませんが、分散機（例えば、これらの参照の講義ノート、TA-ShmaによるとESP。表3）。決定論的（許容されるrよりもランダムなビットが1つ少ない）増幅に対応する境界は見つかりませんでしたが、（より重要なことには）関連するパラメータ範囲の最先端の明示的な分散器の構成は何ですか？ 。BPPBPP\textsf{BPP}rrr [1] Karp、R.、Pippenger、N.およびSipser、M.、1985。時間ランダム性のトレードオフ。確率的計算の複雑さに関するAMS会議（Vol。111）。 [2]コーエン、A。およびウィグダーソン、A.、1989年10月。分散器、決定論的増幅、および弱いランダムソース。第30回コンピューターサイエンスの基礎に関する年次シンポジウム（pp。14-19）。IEEE。
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エキスパンダーグラフに長い誘導パスが存在する
レッツは、グラフの家族と言うた長いパスを誘導している場合は定数ε > 0など、すべてのグラフというGでFは上の誘導パスが含まれています| V （G ）| ϵFF\mathcal{F}ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0GGGFF\mathcal{F}|V(G)|ϵ|V(G)|ϵ|V(G)|^{\epsilon}頂点。長い誘導経路の存在を保証するグラフファミリのプロパティに興味があります。特に、現在、一定次数のエキスパンダーが長い誘導経路を持っているのではないかと考えています。これが私が知っていることです。 一定の平均次数を持つランダムグラフ（Erdős–Rényiモデル）では、確率が高く（線形サイズでも）誘導されたパスがあります。たとえば、Suenの記事を参照してください。 一意の隣接エキスパンダーグラフ（AlonとCopalboで定義）には、大きな誘導ツリーがあります。実際、このようなグラフでは、最大の誘導ツリーは大きくなります。 これらの2つの事実を考えると、同程度のエキスパンダーには長い誘導経路があると予想されます。しかし、具体的な結果を見つけることができませんでした。洞察は大歓迎です。
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ソーシャルネットワークは通常、優れたエキスパンダーですか？
グラフとしてのソーシャルネットワークの組み合わせ特性に興味があります。人々は、次数の分布、クラスタリング係数、これらのグラフの圧縮率などを見てきました。基本的な質問の1つは、これらのグラフは通常、適切な展開グラフですか？ Facebookグラフのスペクトルギャップを確認した人はいますか？または、他の大規模な現実のネットワークのスペクトルギャップですか？私は誰かがこのトピックについて学ぶために私を正しい方向に向けることができることを望んでいます。
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小集合拡大予想について
グラフとδ > 0が与えられた場合、h （G 、δ ）= m i n |を計算したいとします。S | ≤ δ | V | ϕ （S ）。（φ （S ）= E （S 、ˉ S）G = （V、E）G=(V,E)G=(V,E)δ> 0δ>0\delta > 0h （G 、δ）= m i n| S| ≤ δ| V|ϕ （S）h(G,δ)=min|S|≤δ|V|ϕ(S)h(G,\delta)=min_{\vert S\vert \leq \delta \vert V \vert } \phi(S)）が、これは以下であるかどうかを決定するためにNP困難であることを``小集合膨張推測」状態ε以上1-ε用ε=1/O（LOG（1ϕ （S）= E（S、S¯）dm …
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